意外に間違える人が多いかも…？「√14と7」→どっちが大きい？

分数と小数、整数と分数など、異なる種類の数の大きさを比べる問題にはさまざまなバリエーションがあります。

今回チャレンジするのは、整数と√付きの数を比較する問題です。

さて、どうやって大きさを比べたらよいのでしょうか。

問題

次の二つの数、どちらが大きいですか。
√14と7

正解は、「7」です。

7は14の半分ですが、だからといって√14の方が7より大きいとは限りません。

この問題では、数だけを見て比較せず、√の意味をしっかり押さえて考えることが大事です。

では、具体的な大きさ比較の手順を、次の「ポイント」で見てみましょう。

この問題のポイントは、「比較しやすい形に変形してから大きさを比べること」です。

まず、√の意味を明らかにしておきましょう。

√a（a>0）は、二個掛け合わせる（二乗する）とaになる正の数
√a×√a=a

√aの中には、整数や分数で表せるものもありますが、多くは無理数と呼ばれる分数で表せない数です。

整数に直せる√付き数字の例：√4=2(2個掛け合わせると4になる)
整数に直せない√付数字の例：√2=1.4142...（循環しない小数が無限に続く無理数）

√14もこの無理数の一種です。

ここで重要なのが、√の中の数の大小関係は、√付き数の大小関係と一致するということです。

a>0、b>0のとき、a<b⇔√a<√b

ここで「7×7=49」から、7は二個掛け合わせると49になる数なので、「7=√49」がいえます。

7=√49

これで、比較対象は、√14と√49になりました。中の数を比べると14<49ですから、√14<√49（=7）もいえます。

14<49だから√14<√49
√49=7なので
√14<7

√14と7、どちらも√付きの数にすることで、大小比較がしやすくなりましたね。

なお、14と49はどちらも、√14と7を二乗して整数にしたものです。よってこの解法は、√14と7を二乗して比べているということになります。

このように、ともに正である√付きの数と√なしの数を比較する場合は、どちらも二乗してから数の大小を比べればよいことが分かるでしょう。

今回は、無理数と整数を比べる問題にチャレンジしました。

このように数の種類が違う二つの数を比べる際は、大きさの比較をしやすい形に直すのがポイントです。√aは二乗するとaになります。この特徴により（a>0、b>0のとき）√aとbの値を比べるには、「(√a)^2とb^2の値を比較すればよい」と分かります。

「√の付いた無理数は二乗して扱いやすい数にする」というのは、よく使われるテクニックなので、ぜひ覚えておきましょう。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

もう一問挑戦！

意外に間違える人が多いかも…？「√50と7」→どちらが大きい？