これどうやって計算するか覚えてる？「3，6，12，24，48…」→8番目の数は？

ある規則性を持った数の列を扱う「数列」は、高校数学で習う分野です。

高校数学というと難しそうですが、ベースとなる規則性を見抜くことは四則演算ができれば小中学生でも可能です。

それでは、さっそく数列の問題に挑戦してみましょう。

問題

次の数列の8番目の数を答えてください。
3，6，12，24，48…

正解は、「384」です。

5番目の数は二桁だったのに、数個後である8番目の数は三桁の大きな数になりました。

次の「ポイント」で、等比数列の数の求め方を確認してみましょう。

この問題では、「前の数に×2をすると次の数ができる」という等比数列の規則性がポイントになります。

数列の規則性には、さまざまなパターンがあります。

その中でも基本として押さえておきたいのが「同じだけ増えたり減ったりする」という規則性と、「同じ数を掛けていく」という規則性です。前者の規則性を持つ数列を等差数列、後者の規則性を持つ数列を等比数列といいます。

等差数列なら「後ろの数−前の数」、等比数列なら「後ろの数÷前の数」の答えが同じになります。数列の問題では、まずこの二つの計算をして、数列が等差数列や等比数列ではないかを確認しておきましょう。

今回の数列でも、後ろの数−前の数と後ろの数÷前の数の計算をしてみます。

3，6，12，24，48…

<後ろの数−前の数>
6−3=3
12−6=6
24−12=12
48−24=24

<後ろの数÷前の数>
6÷3=2
12÷6=2
24÷12=2
48÷24=2

後ろの数÷前の数が同じになったので、この数列は等比数列です。後ろの数÷前の数で求められた2は、等比数列の公比といいます。

等比数列では数列の中の数に公比を掛けることで、次の数を求められます。

今回、5番目の数は48だと分かっていますので、順に2を掛けて8番目の数を求めていきます。

48×2=96←6番目の数
96×2=192←7番目の数
192×2=384←8番目の数

これで8番目の数384を求められました。

実は、等比数列n番目の数は、次の公式で求められます。

等比数列n番目の数=最初の数×公比^(n−1)

n−1は最初からn番目までの間の数を表しています。8番目の数であれば、最初の数との間に8−1=7つの間があり、その間ごとに2を掛けていくことになります。

では、今回の数列の8番目の数を公式を使って求めてみましょう。

3×2^(8−1)
=3×2^7
=3×2×2×2×2×2×2×2
=384

この公式を覚えておくと、20番目や100番目など、ずっと後ろの数を求めるときにも便利ですよ。

今回は、等比数列の問題にチャレンジしました。

等比数列とは、「同じ数を掛けていく」という規則性を持った数の列のことです。この等比数列は、同じ数を足したり引いたりする等差数列よりも数の変化が激しいことが多いです。

等差数列と等比数列の違いや規則性の見抜き方を覚えておくと、数列の問題はかなり計算しやすくなりますよ。ぜひ他の数列問題にもチャレンジして、数列の扱い方に慣れていきましょう。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。