意外に間違える人が多いかも…？「√3と2」→どっちが大きい？

今回は、大きさ比べの問題にチャレンジしてみましょう。

比べるのは√のついた数と整数です。

このように数の種類が違うときの大きさ比べはどうすればよかったでしょうか？

問題

次の二つの数、どちらが大きいですか。
√3と2

※制限時間は10秒です。

√の意味を思い出せると、比較手段の糸口も見えてきますよ。

正解は、「2」です。

どうやったら二つの数の比較ができるのか、分かりましたか？

比較手段が思いつかなかったという人は、次の「ポイント」に進んでください。

今回の問題のポイントは、「√あり、なし、どちらかの形に統一すること」です。

まず、√aという数の意味を確認してから、答えの出し方の2パターンを紹介します。

√a（a>0）とは、「二乗（同じ数を二個掛け合わせること）するとaになる正の数」を表しています。

この問題に出てくる√3は、「二乗すると3になる正の数」です。

(√3)^2
=√3×√3
=3

√付きの数の中には整数に直せるものもあります。

例えば√4は二乗すると4になる正の数ですが、これは2のことですね。

(√4)^2
=√4×√4
=2×2
=4

しかし、このようなパターンはまれで、多くの√付きの数は整数に直せず、小数で表そうとすると循環しない無限小数になります。このような数は「無理数」といいます。

問題に登場する√3も無理数です。

√aの意味が分かったところで、まずは「√なしにして比較する方法」を紹介します。

√3は無理数ですから、このままでは整数になりません。そこで、二乗して整数に直してみましょう。

(√3)^2
=√3×√3
=3

次に比較対象の2も二乗します。

2^2
=2×2
=4

3<4なので、二乗する前の√3と2でも√3<2が言えます。

なお、このように数を二乗して大小関係を比べられるのは、二つの数が0以上の場合です。

a≧0、b≧0のとき、a^2≧b^2→a≧b

次に、両方の数を√ありにして比較する方法を紹介します。

√のない2を√付きにするにはどうしたらよいでしょうか？

√aの説明で見たように、√4は二乗して4になる数、つまり2のことでしたね。

2
=√4

a>0、b>0のとき、√aと√bの大きさを比較する場合は、√の中の数aとbを比較すればOKです。

a>0、b>0のとき
a>b→√a>√b

4も3も0より大きく4>3が言えますので、√4>√3=2>√3が成り立ちます。

今回の問題はいかがでしたか？

種類の違う二つの数を比較する問題は、算数や数学でよく出題されます。このような問題に挑戦するときは、まず「二つの数を同じ種類にするにはどうすればよいか」を考えましょう。

今回は、√付きの数と整数を比較する問題でしたので、両方の数を√付きにするか、あるいは整数にするかすれば大きさを比べることができました。

この問題の考え方が理解できたら、√が含まれた問題や他の大きさ比べの問題にも挑戦してみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。