数学の世界には、直感に反する驚きがたくさんあります。
特に指数を使った数の比較は、一見すると複雑で難解に思えることが多いですが、実はシンプルな原理に基づいています。
今回は指数を使った数の大小比較の問題に挑戦してみましょう。
この問題は、指数の性質を理解することで、意外な答えにたどり着きます。
問題
4の15乗と8の10乗、どちらが大きいでしょうか？
この問題では、指数を用いた数の比較を行います。
一見、難しく感じるかもしれませんが、式を変形してみると答えが見えてきます。
正解はわかりましたか？
答えは「どちらも同じ」です！
解説
この問題の答えは、実は一緒です。
それでは、なぜ同じになるのか、その理由を見ていきましょう。
まず、4の15乗と8の10乗をそれぞれ変形してみます。
4の15乗
＝(2の2乗)の15乗
＝(2×2)の15乗
＝(2×2)×(2×2)×(2×2)×・・・×(2×2)（(2×2)を15回かけ算）
＝2の30乗
8の10乗
＝(2の3乗)の10乗
＝(2×2×2)の10乗
＝(2×2×2)×(2×2×2)×・・・×(2×2×2)（(2×2×2)を10回かけ算）
＝2の30乗
したがって、4の15乗も8の10乗も、2の30乗と同じになります。
まとめ
今回の問題のように指数の性質を理解し、適切に式変形を行うことで、複雑に見える問題も意外と簡単に解決できることがあります。
数学の問題を解く際には、表面上の数字の大きさだけでなく、その背後にある数学的な原理を見抜くことが重要です。
このような問題を通じて、日常生活での論理的思考力を養い、数学の楽しさを再発見しましょう。
監修：SAJIMA
日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」。