工夫して20秒で計算してみて！「31671、31571、31471」→11の倍数はどれ？

ある数が指定の数の倍数かどうかを見極める最も確実な方法は割り算を実行することですが、大きな数になると筆算や計算の手間が大変ですよね。 ですが、数ごとの「倍数判定法」を知っておけば、面倒な割り算をしなくても一瞬で見抜くことが可能です。

今回は、大きな桁数でも簡単に解ける「11の倍数の判定テクニック」に挑戦してみましょう！

問題

次の三つの数のうち、11の倍数はどれでしょうか。
31671
31571
31471

※制限時間は20秒です。

解答

正解は、「31471」です。

実際、31471÷11の答えは2861となり、割り切れます。

しかし、それぞれの数が11で割れるかどうか、実際に割り算しようとすると心が折れそうになりますよね。

しかし、次の「ポイント」で紹介する工夫を使えば、簡単な足し算と引き算だけで11の倍数を探すことができますよ。ぜひご覧ください。

ポイント

この問題のポイントは、「各桁の数字を交互に+、−していき、11の倍数になるもの（0を含む）」を見つけることです。

5桁の数をa×10000+b×1000+c×100+d×10+eと表す（aは1~9、b、c、d、eは0~9の整数）と、次のことが言えます。

a−b+c−d+eが11の倍数になるなら、5桁の数も11の倍数になる
※0を11で割ると答えは0（整数）になるので、0も11の倍数に含める

では早速この方法を使って、三つの数の中から11の倍数を見つけてみましょう。

31671の場合：3−1+6−7+1=2
31571の場合：3−1+5−7+1=1
31471の場合：3−1+4−7+1=0←11の倍数

よって31471が11の倍数だと判定できます。

11の倍数の判定方法が成り立つ理由

この方法で11の倍数が分かるのはなんだか不思議ですね。

そこで、a×10000+b×1000+c×100+d×10+eを変形してこの判定方法が成り立つ理由を明らかにしてみましょう。

変形のポイントは、11の倍数となる部分が分かるようにすることです。

次の変形の過程を見てください。

a×10000+b×1000+c×100+d×10+e
=a×(9999+1)+b×(1001−1)+c×(99+1)+d×(11−1)+e
=a×(11×909+1)+b×(11×91−1)+c×(11×9+1)+d×(11−1)+e←9999÷11=909、1001÷11=91
=a×(11×909)+a+b×(11×91)−b+c×(11×9)+c+d×11−d+e
=11×(a×909+b×91+c×9+d)+a−b+c−d+e

11×(a×909+b×91+c×9+d)の部分は11の倍数になっているので、あとはa−b+c−d+eが11の倍数になれば、元の5桁の数も11の倍数になるということです。

この方法を拡張していけば、6桁の数でも同じように11の倍数判定ができます。

まとめ

11の倍数は「各桁の数字を交互に足し引きした結果が11の倍数（0含む）になるか」で簡単に判定可能です。 桁数が増えてもそのまま応用できる非常に便利なテクニックですので、ぜひ覚えて試してみてください。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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