大人が意外とわからない算数「9の倍数はどれ？」→《14142、27315、31415》

ある数が特定の「倍数」かどうかを見分ける問題は、小学校の算数からおなじみですね。

桁数が少ない数なら九九を使ってすぐに見当がつきますが、桁数が増えると、割り算の筆算をするのも一苦労です。

今回は、知っておくと大きな数でも簡単に判別できる「9の倍数の見分け方」にチャレンジしてみましょう！

問題

次の中から9の倍数を見つけなさい。
A. 14142
B. 27315
C. 31415

すべて5桁の数です。1つずつ9で割っていけば正解できますが、少し手間がかかります。

もっと簡単に判別する方法はあるのでしょうか？

解説

今回の正解は「B. 27315」です。

27315 ÷ 9 ＝ 3035となり、余りなく割り切れます。

実は、9の倍数かどうかは、各桁の数字を足すだけで判別できます。

これを「9の倍数の判定法」といいます。

＜9の倍数の判定法＞
ある整数が9の倍数であるのは、各桁の数字の和が9の倍数であるとき、またそのときに限ります。

このルールをもとに、実際に判定してみましょう。

A. 14142

1＋4＋1＋4＋2＝12

12は9の倍数ではないため、14142も9の倍数ではありません。

B. 27315

2＋7＋3＋1＋5＝18

18は9の倍数なので、27315は9の倍数です。

C. 31415

3＋1＋4＋1＋5＝14

14は9の倍数ではないため、31415も9の倍数ではありません。

このように、各桁の数字を足すだけで、9の倍数かどうかを簡単に判定できます。

ちなみに、3の倍数も同じ考え方で判定できます。

各桁の数字の和が3の倍数であれば、元の数も3の倍数になります。

数学的な証明

少し高度になりますが、なぜこの判定法が成り立つのか、その理由も確認してみましょう。

ここでは、3桁の整数を例に説明します。

3桁の数について、

・一の位の数字をa
・十の位の数字をb
・百の位の数字をc

とすると、その数は次のように表せます。

a＋10b＋100c

ここで、10＝1＋9、100＝1＋99であることに注目して式を変形します。

a＋10b＋100c
＝a＋（b＋9b）＋（c＋99c）
＝a＋b＋c＋9b＋99c
＝（a＋b＋c）＋9（b＋11c）

この式の「9（b＋11c）」は、必ず9の倍数になります。

つまり、元の数と「a＋b＋c」の差は9の倍数なので、両者を9で割ったときの余りは同じです。

したがって、各桁の数字の和が9の倍数であれば、元の数も9の倍数になります。

反対に、元の数が9の倍数であれば、各桁の数字の和も9の倍数になります。

この考え方は、4桁以上の整数にも当てはまります。

まとめ

9の倍数かどうかは、すべての桁の数字を足し、その合計が9の倍数になるかを調べるだけで判定できます。

大きな数でも、実際に9で割ることなく確認できる便利な方法です。

また、この判定法は数の仕組みに基づいているため、理由まで理解しておくと、より深く数学を学ぶことにつながります。

ぜひ、日常の計算や問題演習にも役立ててみてください！

※当メディアでご紹介する数学関連記事には、複数の解法があるものもございます。今回ご紹介した解法は、その一例です。あらかじめご了承ください。

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文（編集）：SAJIMA

日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」

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