これどうやって計算するか覚えてる？「Xの角度は？」→正しく計算できる？

今回は、三角形の内角の角度を求める問題にチャレンジしてみましょう。

このジャンルの問題にはいくつかのバージョンがありますが、どれも基本の考え方は同じです。

さて、あなたは正しく計算できるでしょうか？

問題

次の三角形の内角Xの角度を求めなさい。

正解は、「92°」です。

どうやって計算すればよいか、分かったでしょうか？

次の「ポイント」では、三角形の内角問題の基本的な考え方を復習しながら、この問題の計算方法を考えていきます。ぜひ、ご覧ください。

この問題のポイントは、「二つの内角の角度を使うこと」です。

実は、三角形の三つの内角の和は180°だと決まっています。これは、すべての種類の三角形に当てはまります。

「内角の和は180°」であることを用いると、三角形の内角のうち二つが分かっている場合、もう一つの内角の角度を計算で求めることができます。

例えば、内角が30°、60°の三角形があったとき、もう一つの内角?は次のように求められます。

30°+60°+?=180°←三角形の内角三つの和は180°という式を作る
90°+?=180°
90°−90°+?=180°−90°←両辺から90°を引いて?=の式を作る
?=90°

三角形の内角を求める問題は、基本的にこの方法で計算できます。

では、改めて今回の問題を見てみましょう。

この問題では、内角の角度が一つしか分かっていないように見えます（59°だけ）。そこで、151°という外角に注目してください。

外角とは、多角形の一辺を延長した線と、隣り合う辺とで作られた角のことです。外角と隣りの内角の角度を足すと180°になります。

つまり、外角151°の隣にある内角の角度Aは、次の計算で求めることができます。

A+151°=180°←内角+外角=180°の式を作る
A+151°−151°=180°−151°←両辺から151°を引いてA=の式を作る
A=29°

これで問題の三角形の内角は、59°と29°であることが分かりました。二つの内角の角度がそろったので、「内角の和は180°」の式を作ってXを求めてみましょう。

59°+29°+X=180°←三角形の内角三つの和は180°という式を作る
88°+X=180°
88°−88°+X=180°−88°←両辺から88°を引いてX=の式を作る
X=92°

これで答えが出ましたね。

実はこの問題、もっと簡単に計算することもできます。

59°の内角、内角X、内角Aの和は180°です。また、外角151°と隣り合う内角Aとの和も180°です。よって二つの和の式はイコール関係になります。

59°+X+A=180°
151°+A=180°
59°+X+A=151°+A

この式を変形していくと、次のようになります。

59°+X+A−A=151°+A−A←両辺からAを引く
59°+X=151°←外角の角度151°は隣り合わない内角Xと59°の内角の和と等しくなる
59°−59°+X=151°−59°←両辺から59°を引いてX=の形を作る
X=92°

二行目を見てください。三角形の外角は隣り合わない二つの内角の和に等しくなることが分かりますね。この性質を覚えておくと、内角の角度がより簡単に計算できることがありますよ。

今回の問題は、外角の角度を用い、隣り合う内角の角度を求めてから、三角形の内角の和の式を作りました。

「三角形の三つの内角のうち二つの角度が分かっている」と、もう一つの内角を求めることができます。

しかし、今回のように内角の角度が一つしか分かっていないように見えることもあります。こういったパターンの問題では、もう一つの内角を求めるヒントが図の中にあるはずです。ぜひ、探してみてください。

また「外角+隣り合う内角=180°」という関係も重要なので、覚えておきましょう。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。