これどうやって計算するか覚えてる？「十三角形の内角の和は？」→正しく計算できる？

図形の問題には、様々な多角形が登場します。

角の数が多くなると扱いにくく感じるかもしれませんが、多角形に関する公式を知っていると意外と簡単に正解できるケースもありますよ。

今回は、十三角形の内角の和を求めてみましょう。

問題

十三角形の内角の和を求めなさい。

正解は、「1980°」です。

どうやって計算すればよいか、分かったでしょうか？

次の「ポイント」では、この答えを求めるための二つの計算方法を紹介します。

ぜひご覧ください。

この問題のポイントは、「十三角形を三角形に分割して考えること」です。

「三角形の内角の和は180°」だと分かっています。この性質を利用するために、十三角形を三角形に分割するのです。

三角形に分割するパターンは、二通り考えられます。どちらのパターンでも、同じ正解にたどり着けます。

順番に見ていきましょう。

一つ目のパターンは、一つの頂点から他の頂点に線を引いて十三角形を三角形に分割するというものです。

以下の図では、Aという頂点から他の頂点に線を引いています。Aの横の二つの頂点には線を引きません（三角形ができないため）。

この分割方法でできる三角形の数は十一個です。

十三角形の内角すべてが各三角形の内角に重複なく含まれていますので、三角形十一個の内角の和と十三角形の内角の和は一致します。

一つの三角形の内角の和は180°なので、十三角形の内角の和は次の式で計算できます。

180°×11=1980°

二つ目のパターンは、十三角形の内部の点から各頂点に向かって線を引くというものです。

この方法だと、できる三角形の数は頂点の数と一致しますので、十三個になります。

ただし、三角形の内角のうち、中央に集まっている角は十三角形の内角とは関係がありません。この角度を集めると、下図のように360°になります。

よってこのパターンでは、三角形十三個の内角の和を求めた後に360°を引き、十三角形の内角の和を求めます。

180°×13=2340°←三角形十三個の内角の和
2340°−360°=1980°←十三角形の内角の和

パターン1の答えと一致しましたね。

今回の問題で紹介した二つの計算方法をまとめると、次のようになります。

<n角形の内角の和（nは3以上の整数）>
180°×(n−2)=180°×n−360°

パターン1の方法でn角形を分割すると、三角形はn−2個作れるので左辺の式が成り立ちます。

また、パターン2の方法では三角形をn個作ってから中央に集まった360°を引くので、右辺の式が成り立ちます（ちなみに左辺の式の括弧を外して計算すると右辺の式になります）。

他の多角形についても、同じ考え方で内角の和を求めることができます。ぜひ、試してみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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