これどうやって計算するか覚えてる？「(−1)^77」→10秒でチャレンジ

累乗とは、同じ数を何個か掛け合わせる計算のことです。

累乗の計算をするときは、掛け算の形に直せばよいのですが、中には「累乗の特徴」に注目することで、より簡単に答えを求められる問題もあります。

さて、今回の問題は、どう計算するとすぐに答えが出せるでしょうか？

問題

次の計算をしなさい。
(−1)^77

※制限時間は10秒です。

正解は、「−1」です。

−77と答えた人は不正解、累乗の計算方法を勘違いしている可能性が高いです。

また77という数の大きさに、制限時間内に計算ができないと思ってあきらめてしまった人もいるかもしれません。

次項では、この式の答えを簡単に求めるための大事な「ポイント」を紹介しますよ。

この問題のポイントは、「77が奇数であること」です。

そもそもこの77という数の正体は、何なのでしょうか。その正体を知るためにも、まずは、累乗の基本について確認しておきましょう。

累乗とは、同じ数を何個か掛け合わせる計算で、何個掛け合わせるかは指数という数で表します。

指数は本来、掛け合わせる数の右上に小さく書きます。ただし、上付き文字が使えないテキストでは^を使って指数を表すことがあります。この記事でも指数を表すときに^を使っています。

つまり、(−1)^77の77は指数のことで、この式は「−1を77個掛け合わせる」という意味なのです。

ここで、指数=掛ける数と勘違いしないように注意しましょう。例えば、(−1)^77=−1×77とするのは間違いです。

もし、(−1)^77を掛け算の式で表そうとすれば、次のような形になります。

(−1)^77
=(−1)×(−1)×(−1)×(−1)…×(−1)←77個−1を掛け合わせる式に直せる（一部省略）

−1を77個掛け合わせる掛け算は、−1の数が多すぎて全部書き出そうとするのは非効率的ですね。

実はこの問題、負の数の計算ルールが分かっていれば、掛け算の形に直さずともすぐに答えが分かります。

まずは、次の負の数の計算ルールを確認してください。

＜答えの符号の決め方（掛け算編）＞
・同符号どうしの掛け算の答え→正の数（+）になる
例：−1×(−1)=1
・異符号どうしの掛け算の答え→負の数（−）になる
例：−1×1=−1

この計算ルールを見ると、負の数×負の数の計算の答えは必ず正の数になると分かります。

さて、(−1)^77は−1が77個掛け合わされているのですから、−1×(−1)という−1どうしの掛け算のペアを作っていくと、ペアの数は38個できます。この38個の掛け算の答えは、（同符号どうしの掛け算になるので）すべて1です。

ただし、77は奇数なので、二つずつ組み合わせていくとペアになれない×(−1)が一つだけ余ります。よって最後に、1×(−1)=−1と計算すれば、全体の答えは−1になります。

(−1)^77
=(−1)×(−1)×(−1)×(−1)…×(−1)←77個−1を掛け合わせる式に直せる（一部省略）
=1×1...×(−1)
=1×(−1)
=−1

このように考えると、−1の掛け算を77個書かなくても、答えが分かります。

今回の問題のように、負の数に指数が付いているとき、指数が「偶数か奇数か」で答えの符号判定ができます。

(−a)^b(a>0、bは整数のとき)
・bが偶数→答えは正の数
・bが奇数→答えは負の数

このことを覚えておくと、指数がどれだけ大きくても、計算前に答えの正負が分かるようになります。

負の数の累乗を見たら、指数が偶数なのか、それとも奇数なのかに注目してみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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