10秒で計算してみて！「2020÷9」→暗算できる？

インド式計算法には、複雑な計算を簡単にするさまざまなテクニックがあります。

今回紹介するのは、9で割る割り算を超速で計算してしまうテクニックです。

興味のある人は、ぜひご覧ください。

問題

次の計算を暗算でしなさい。答えは整数で求め、余りが出る場合は余りも答えましょう。
2020÷9

※制限時間は10秒です。

解答

正解は、「224余り4」です。

この答え、2020という割られる数の各桁を足していった形になっていますよね。

「どうしてこうなるの？」という理由もあわせて、次の「ポイント」で答えの出し方を詳しく紹介しますよ。

ポイント

9で割る割り算を暗算するポイントは、「割られる数の各桁の数字を順番に足していく」ことです。

まずは、四桁の数の暗算方法をご覧ください。

<四桁の数1000a+100b+10c+d÷9の暗算方法>
※aは千の位、bは百の位、cは十の位、dは一の位の数を表す（aは1以上9以下の整数、b,c,dは0以上9以下の整数）

以下の手順で、答えの各桁と余りの数を計算します。

手順1：答えの一番大きい位（ここでは百の位）=a
手順2：答えの二番目に大きい位（ここでは十の位）=a+b
手順3：答えの三番目に大きい位（ここでは一の位）=a+b+c
手順4：余り=a+b+c+d

※手順1〜3の計算の途中で答えが10以上になった場合は、繰り上げる。
※手順4で余りが9以上になった場合は、一の位に9の個数分の数を繰り上げる。

この暗算方法は、各桁を足したときに繰上りが発生すると少しややこしくなります（※の注意書きをご覧ください）。

一方、今回のように各桁の数字が小さいときには驚くほど簡単に答えが出ますよ。

では、今回の問題2020÷9をこの手順に従って計算してみましょう。

<2020÷9の暗算方法>
1.答えの一番大きい位（ここでは百の位）=2
2.答えの二番目に大きい位（ここでは十の位）=2+0=2
3.答えの三番目に大きい位（ここでは一の位）=2+0+2=4
4.余り=2+0+2+0=4

答え：224余り4

2020÷9を普通に計算するよりも、ずっと簡単に答えが出ましたね。

この暗算方法が成り立つ理由

先に紹介した暗算方法がどうして成り立つのか知りたい、という人もいるでしょう。

そんな人は、次の式をご覧ください。先の説明同様、割られる四桁の数は1000a+100b+10c+dとします。a、b、c、dは各桁の数です。

これを9×〇+△の形に変換していきます（〇が割り算の答え、△が余りになります）。

1000a+100b+10c+d
=900a+100a+100b+10c+d←1000aを900aと100aに分解
=900a+100(a+b)+10c+d
=900a+90(a+b)+10(a+b)+10c+d←100(a+b)を90(a+b)と10(a+b)に分解
=900a+90(a+b)+10(a+b+c)+d
=900a+90(a+b)+9(a+b+c)+(a+b+c)+d←10(a+b+c)を9(a+b+c)と(a+b+c)に分解
=900a+90(a+b)+9(a+b+c)+(a+b+c+d)
=9{100a+10(a+b)+(a+b+c)}+(a+b+c+d)
※文字式なので×（掛ける）記号を省略しています。

9{100a+10(a+b)+(a+b+c)}を9で割った答えは{100a+10(a+b)+(a+b+c)}になります。

100aは答えの100の位、10(a+b)は答えの10の位、(a+b+c)は答えの1の位なので、それぞれが割られる数の各桁を順に足した数になっていることが分かるでしょう。

また余りは(a+b+c+d)の部分ですが、これも割られる数の各桁を足した形になっています。

※ただし、割り算の答えとなる「100a+10(a+b)+(a+b+c)」の「a」や「a+b」、「a+b+c」は答えの各位の数を表しているので、10以上になったら上の位に繰り上げなくてはなりません。また余りは9より小さくないといけないので、a+b+c+dが9以上になった場合も答えの中に9の個数分の数を繰り上げる必要があります。

まとめ

今回は、9で割る割り算の暗算方法を紹介しました。

9で割る割り算は、割られる数の各桁の数を順番に足していくと、答えと余りを求められます。

この暗算方法はインド式計算法の一種として知られているものです。暗算方法が成り立つ理由を見てみると、9という数の特徴を使ったとても面白い計算方法だということが分かるのではないでしょうか。

インド式計算法には他にも複雑な計算を簡単にするさまざまなテクニックが存在します。興味のある人は、ぜひ調べてみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

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文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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