大人が意外と解けない数学「√21168」→根号内の数をできるだけ小さな整数にすると？

「2乗するとXになる正の数」を√Xと表します。

この「根号」（ルート）を用いて表した数は、根号の中の数を小さくすることが可能な場合があります。

どのように計算をすれば良いのか考え方を覚えているでしょうか。

問題

根号内の数をできるだけ小さな整数にして表しなさい。
√21780

根号の中の数が大きな数なので、数が分かりにくくなっています。

どのように式変形をすれば良いでしょうか。

解説

今回の問題の答えは「66√5」です。

この答えを導くには、次のように計算をします。

21780を素因数分解すると
21780=2×2×3×3×3×5×11×11なので、

√21168
= √(2^2)×√(3^2)×√5×√(11^2)
=2×3×11×√5
=66√5

ポイントを順に解説します。

素因数分解

まずは、21780を素因数分解します。

小さな素数で順に割り算を繰り返しましょう。

通常、以下のように割り算をします。

これにより、
21780を素因数分解すると
21780=2×2×3×3×3×5×11×11
ということが分かりました。

根号を外す

根号を用いて表された数は「2乗すると◯（根号内の数）になる数」ということになります。

例えば、
√4=2（「二乗すると4になる数」は2）
√9=3（「二乗すると9になる数」は3）
√25=5（「二乗すると25になる数」は5）

√(a^2)=a（ただしaは正の数）

素因数分解をしたことによって、「根号を外すことができる部分」が分かります。

21780
=(2×2)×(3×3)×5×(11×11)

上記のように、二乗（同じものを二回掛け算）を作ると、この部分は根号を外すことが可能です。

√21780
= √(2^2)×√(3^2)×√5×√(11^2)
=2×3×11×√5
=66√5

したがって、今回の問題の答えは「66√5」です。

まとめ

ルートの中を小さな数にするためには、素因数分解を考えましょう！

大きな数になっても基本的な考え方は同じです。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法をもつものもございます。
あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

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文（編集）：SAJIMA
日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」