大人が意外と間違える算数「43×43」→暗算できる？

「二乗」とは同じ数や同じ式どうしを掛けることです。

簡単な数字の二乗は計算も楽ですが、数が大きくなるほど難しくなってきます。

二桁の数の二乗は筆算なしでは計算できないと思われがちですが、アプローチの仕方次第では暗算することが可能です。

今回の問題で、暗算するための方法を確認してみましょう。

問題

次の計算を暗算でしてください。
43×43

解答

正解は、「1849」です。

どうしても筆算したくなってしまう、そんな人は次の「ポイント」を確認してください。

暗算するためのポイントを解説していますよ。

ポイント

この問題を暗算するポイントは、「乗法公式を利用すること」にあります。

結論から言いますと、次の計算手順を使うと簡単に二乗の掛け算が出来ます。

手順1:一の位を切り捨てた数（40）を2乗する→40×40=1600
手順2:一の位の数（3）を2倍した数に、一の位を切り捨てた数（40）を掛け算する→3×2×40＝240
手順3:手順1で出た数（1600）と、手順2で出た数（240）を足す⇒1600+240=1840
手順4:一の位の数（3）の二乗する→3×3=9
手順5:手順3で出た数（1840）と、手順4で出た数（9）を足す→1840+9= 1849

43を一の位を切り捨てた数（40）と、一の位の数（3）に分け、簡単な掛け算と足し算をするだけで、答えが出ました。

でも、どうしてこのような手順で答えが出るのでしょうか。背景には乗法公式があります。

乗法公式を使って二乗計算を楽に

乗法公式とは、式を展開するときに使う公式のことです。

乗法公式にはいくつかの種類がありますが、今回は次の式を使います。

(x+a)^2=x^2+2ax+a^2
※文字式なので掛け算の×記号は両略されています。

左辺と右辺がどうして同じになるのか分からないという人は、式の展開過程を確認してみましょう。

(x+a)^2
=(x+a)(x+a)
=x(x+a)+a(x+a)←(x+a)をひとかたまりにして分配法則を使う
=x^2+ax+ax+a^2
=x^2+2ax+a^2

さて、先に紹介した計算手順とこの乗法公式を比べてみてください。

(x+a)^2=x^2+2ax+a^2

x=40、a=3とします。

(40+3)^2=40^2+2×3×40+3^2

40を２乗する手順1はx^2に、一の位の3×2×40の手順2は2axに、一の位3を二乗する手順4はa^2に対応していますよね。それぞれを足し合わせる操作として手順3と、手順5があります。

筆算との一致も確かめておこう

なお、この計算手順は筆算の計算過程とも一致しています。

上の画像を見てみると、各手順が筆算の中にも表れていることが分かります。

まとめ

今回の問題はいかがでしたか？

乗法公式を利用することで、筆算を使わずとも二乗の計算ができました。特に数学では数を二乗する機会がよく訪れます。スピーディーに計算できる方法を知っておくと、とても便利ですよ。

工夫次第で計算の労力が変わる驚きを味わいたい人は、ぜひ他の問題にも挑戦してみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法をもつものもございます。 あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

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文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

監修：堀口智之（ほりぐち ともゆき）

和から株式会社代表取締役
大人のための数学教室「和」（なごみ） 創業者
大人の数トレ教室 代表
一般社団法人ビジネス数学協会 理事

2010年に、日本で初めて「社会人専門の数学教室」を創業。講師40名、累計受講者20,000人を超えるほどに成長。日本最大級数学イベント「ロマンティック数学ナイト」の企画・創設。延べ10万人以上が参加。2022年に、youtube「大人の数トレチャンネル」を本格稼働を開始。約1年でチャンネル登録者数4万人を超えるまで成長。

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二桁の数どうしの掛け算にもう一問挑戦！