これどうやって計算するか覚えてる？「(−2)^7」→正しく計算できる？

2024.12.31

カッコと指数で表されている式、どうやって計算したらよいか覚えているでしょうか？見覚えがある人でも、具体的な計算方法はあいまいになっているかもしれませんね。

今回の問題に挑戦して、どうやって計算したらよいかを復習してみましょう。

次の計算をしなさい。
(−2)^7

解答

正解は、「−128」です。

この計算式が何を表しているのか、理解できたでしょうか？

次の「ポイント」で、指数が付いた式はどのように計算すればよいのかを確認してみましょう。

ポイント

「(−2)^7=−2を7回繰り返し掛けること」だと理解できていたかどうかが、この問題のポイントになります。

「^」の意味

「^」は「ある数を何回掛け合わせるか」を表す記号です。「^」の後についている数字でこの回数を表します。例えば、「2^4」は2を4回掛けることを表した式です。

2^4
=2×2×2×2

このように「^」を使うと、「同じ数を何度も掛けている式」を短く表せます。

なお、同じ数を何度も掛ける計算を「累乗」といいます。また「^」の後に書く「何回掛けるか」を表した数を「指数」といいます（「^」を使わず、右上に書いた小さな数字で指数を表すこともあります）。

なお、累乗は単なる掛け算と混同しやすいので注意してください。例えば、「2^4」は「2×4」とは異なります。

＜「2^4」と「2×4」の違い＞
2^4 ←2を4回掛ける
=2×2×2×2
=16

2×4 ←2を4倍する
=8

今回の問題「(−2)^7」は、ここまでの説明から「−2を7回繰り返し掛ける」という意味だと分かりますね。

負の数を7回掛けたときの答えの正負

式の意味が分かったところで、「(−2)^7」の計算をしていきましょう。

まず、−2を7回掛けると、答えは正の数になるのか、負の数になるのかを考えます。負の数を含む掛け算には、次のようなルールがあります。

・掛け算の中の負の数が偶数個の場合→答えは正の数（+）
・掛け算の中の負の数が奇数個の場合→答えは負の数（−）

これは、負の数×負の数の答えが正の数になり、負の数×正の数の答えが負の数になるという基本ルールを拡張したものです。

＜上記のルールが成立する理由＞
・負の数×負の数→正の数
・負の数×正の数→負の数

掛け算の中の負の数が偶数個であれば、負の数を二つ一組のペアにできます。つまり、「負の数×負の数」のペアを作っていくと、負の数が余ることは無いので、全体の答えも正の数になります。

負の数が奇数個なら、負の数を二つ一組（負の数×負の数）のペアにしていくと、必ず一つ負の数が余ります。つまり、どこかで「正の数×負の数」の計算が発生するので、全体の答えも負の数になります。

−2を7回掛けたとき、掛け算の中の負の数の個数は奇数になります。つまり、(−2)^7の答えは負の数だと分かるのです。

計算してみよう

では、ここまでの知識を使って「(−2)^7」の計算をしてみましょう。

(−2)^7
=−2×(−2)×(−2)×(−2)×(−2)×(−2)×(−2)
=−(2×2×2×2×2×2×2)

答えが負の数だと分かっているので、掛け算の前にマイナスの符号を付けてから、2を7回掛けました。

あとは、2を掛けるだけですが、左から順に掛けていくよりも、以下のようにいくつかの塊に分けて計算した方が速く計算できます（掛け算にはどこから計算しても良いという法則（結合法則）があるので、このような方法をとれます）。

−(2×2×2×2×2×2×2)
=−(8×8×2)
=−(64×2)
=−128

これで答えを出せましたね。

まとめ

今回は、同じ数を掛ける累乗の問題に挑戦しました。「^」の後に続く数字は、「何回掛けるか」を表したもので、指数と呼びます。負の数の累乗の問題では、指数が偶数か奇数かを見ることで、答えの正負が分かります。

「^」の意味が分かったら、他の累乗問題にもぜひ挑戦してみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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