これどうやって計算するか覚えてる？「(−10)^5+(−1)^10」→正しく計算できる？

同じ数を何回か掛けることを「累乗」といいます。

何回掛けているかは右上の数（指数）を見ればわかります。上付き文字が使えないテキストや計算ソフトでは、「^」の記号を付けて指数を表します。

さて、今回は負の数を累乗する問題に挑戦してみましょう。

問題

次の計算をしてください。
(−10)^5+(−1)^10

解答

正解は、「−99999」です。

どうやって計算すればよいのか分からなかったという人は、負の数の計算ルールが曖昧になっているのかもしれません。

次の「ポイント」で、計算方法を確認してみましょう。

ポイント

この問題のポイントは、「指数が偶数なのか、奇数なのかを見ること」です。

負の数の掛け算で、答えの符号の正負を判断するには、次のルールを使います。

＜答えの符号の決め方（掛け算編）＞
・同符号どうしの掛け算の答え→正の数（+）になる 
・異符号どうしの掛け算の答え→負の数（−）になる

例えば、−1×(+1)は異符号どうしの掛け算なので答えは負の数−1になります。

一方で−1×(−1)は同符号どうしの掛け算になるので、答えは正の数1になります。

さて、この計算ルールを以下のように表してみましょう。0を含まない掛け算の式中において、

・掛け算の式中の負の数が偶数個の場合→答えは正の数（+）
・掛け算の式中の負の数が奇数個の場合→答えは負の数（−）

どうしてこうなるのでしょうか？

掛け算の式中の負の数が偶数個であれば、掛け算の式中で負の数のペアを作ったとき、ペアになれずに余る負の数はありません。負の数がペアになったところは、「負の数×負の数」の掛け算を作れます。この答えは正の数になるため、全体の答えも正の数になるのです。

一方で、掛け算の式中の負の数が奇数個になった場合、負の数のペアを作っていくと、負の数が必ず一つ余ります。つまりどこかで「正の数×負の数」の計算が発生するため、全体の答えも負の数になるのです。

<具体例>
・−2が4回（偶数回）掛けられている場合 −2×(−2)×(−2)×(−2)=4×4=16
・−2が3回（奇数回）掛けられている場合 −2×(−2)×(−2)=4×(−2)=−8

では、ここまでに紹介した計算ルールを使って、今回の問題を計算していきましょう。

(−10)^5+(−1)^10

まずは(−10)^5ですが、これは−10を5回掛けているという意味になります。掛け算の式中に登場する負の数が奇数個なので、答えは負の数になります。

一方、(−1)^10は、−1を10回掛けているという意味です。負の数を偶数回（10回）掛けているので、答えは正の数になります。

  (−10)^5+(−1)^10
=−100000+1
=−99999  

これで答えを出せましたね。

まとめ

今回の問題では、指数に注目することで答えの正負を判断しました。

負の数は偶数回掛ければ正の数に、奇数回掛ければ負の数になります。負の数を累乗する問題を計算するときは、何回掛けているかを表している指数が偶数なのか、奇数なのかを確認しましょう。

他にも負の数の計算知識が試される問題を用意していますので、ぜひ挑戦してみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。 あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

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文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

監修：株式会社かえでプロダクション（公式HP）

「編集技術で過去と未来をつなぐ」小学生・中学生・高校生の学習用教材を執筆・編集・校正する編集専門のプロダクション。英語・算数/数学・国語・理科・社会の主要５科目のテキストやドリル、テストや模試、デジタル系の教材など幅広く制作。教材からできる教育を目指し、教育業界を支える会社。会社独自の福利厚生が充実しており、社員が働きやすい環境を整え、新しい働き方で第三者機関から認定を受けている。

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