大人が意外と間違えやすい数学「x^2+15x+54」←因数分解できる？

2024.12.15

因数分解という言葉、大人になった今でも覚えていますか？

日常ではほとんど使う機会のない因数分解、なんとなく数学で習った気がする…けれど、やり方は忘れてしまったという人が多いかもしれませんね。

今回の問題に挑戦して、因数分解の基本を思い出してみませんか。

問題

(問題)
次の式を因数分解して下さい。
x^2+15x+54

解答

正解は、「(x+6)(x+9)」です。

因数分解とは何をすることだったか、思い出してきましたか？

次の「ポイント」で、因数分解の手順を確認してみましょう。

ポイント

この問題のポイントは、「乗法公式を利用して因数分解すること」です。

まず、因数分解とは何かを確認してみましょう。

因数分解は、簡単に言うと「式を積の形にすること」です。今回の問題では、x^2+15x+54がA×Bの形になるように式を変形していきます。

しかし、掛けるとx^2+15x+54の形になるAとBをやみくもに探してもなかなか見つからないでしょう。

そこで利用すべきなのが、乗法公式です。乗法公式とは、式を展開するときに使われる公式です。

乗法公式にはいくつかの種類がありますが、今回使うのは次のものです。

＜乗法公式＞
(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab

右辺「x^2+(a+b)x+ab」と今回の問題「x^2+15x+54」を比べてみましょう。

a+bが15、abが54であるaとbが見つかれば、式を左辺のような積の形にできると分かります。

aとbの組み合わせを見つけるには、a+b=15よりもab=15を使ったほうが簡単です。

では、掛けると54になる二数の組み合わせを探してみましょう。

1と54
2と27
3と18
6と9

数学では負の数も扱いますので、－1×(−54)のような組み合わせも考えるべきでしょうか？実は、abが負の数×負の数の組み合わせであるケースは今回の式ではありえません。なぜなら、a+bは15という正の数になっているからです。負の数+負の数の足し算は負の数にしかならないので、aとbの組み合わせとして負の数は考えなくても大丈夫です。

では、上の4パターンから「足して15になる」ものを探しましょう。

1と54→1+54=55
2と27→2+27=29
3と18→3+18=21
6と9→6+9=15

掛けて54、足して15になる組み合わせは6と9です。後は、この二数を乗法公式のaとbに当てはめるだけです。

x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
x^2+15x+54=(x+6)(x+9)

※aとb、どちらを6にしても9にしてもよいですが、ここではa=6、b=9としています。

これで因数分解が終わりました。

まとめ

今回の問題では、因数分解に挑戦しました。

因数分解とは、式を積の形にすることです。乗法公式を使うことで、効率よく因数分解できます。以下の乗法公式はとてもよく使うので、覚えておきましょう。

x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

因数分解の問題は他にもありますので、ぜひ挑戦してみてください。

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。