工夫して計算してみて！「71×71」→暗算できる？

インド式計算法は、計算式によって計算方法のパターン分けをし、効率よく答えを導き出す考え方の一つです。

今回は「一の位が1である、二桁の数を二乗」をするときに利用できる計算方法を紹介します。

問題

次の計算を暗算でしなさい。
71×71

まずは、自分自身で正しい答えが出せるかどうか挑戦してみましょう。

解説

今回の問題の答えは「5041」です。

ここではインド式計算法を用いた解法を紹介します。

インド式計算法では、「どのような計算式か」によって、解法のパターンが異なります。

今回の解法は、以下の計算式のときに使用できます。

一の位が「1」である、二桁の数を2乗する。

以下の解説では、「71×71」（71の2乗）の場合の解法を考えていきます。

【手順1】
元の数から1を引き、それを2乗する。
71−1=70
70×70=4900

【手順2】
元の数の十の位を2倍し、後ろに1を付け加える。
十の位は「7」なので、7×2=14
14の後ろに1を付け加える→141

【手順3】
手順1、2で求めた数を足すと、これが答えとなる。
4900+141=5041

通常の筆算をするより少ない手順で、答えを求めることができました。

何度か練習をすれば、誰でも利用できるようになりますよ。

インド式計算法が成り立つ理由

なぜこのようなインド式計算法が成り立つのか、疑問に思った方もいるかもしれません。

ここでは、計算が成り立つ理由について考えてみましょう。

そのためには中学校で学習する「展開公式」を利用します。

＜展開公式＞
(x+y)^2 =x^2 + 2xy +y^2

今回のインド式計算法は、「一の位が1である数」を二乗しています。

そこで、二桁の数を「10a+1」と表す（十の位を10aとし、一の位を1とした数の和）ことにします。

つまり、公式において
x=10a
y=1
とします。

この「10a+1」の二乗を展開公式に当てはめると、次のようになります。

  (10a+1)^2
=(10a)^2 + 2×10a×1 +1^2
=100a^2 + 20a + 1

「100a^2」の部分は【手順1】の計算、
「20a+1」の部分は【手順2】の計算に対応しており、
インド式計算法が正しいことが分かります。

まとめ

今回は「一の位が1である数を二乗」する計算方法を紹介しました。

インド式計算法は、さまざまなパターンを知っていると、多くの計算式を暗算できるようになりますね！

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法を持つものもございます。
あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

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文（編集）：SAJIMA
日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」

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