一瞬で解ける方法知ってる？！「85×85」→暗算できる？

計算式に応じてパターン分けをして計算する方法として「インド式計算法」というものがあります。

聞いたことがあっても難しそうと思い、きちんと学んだことがない方もいるのではないでしょうか。

今回は、とても簡単に覚えられるインド式計算法を紹介します。

問題

次の計算を暗算でしなさい。
85×85（85の二乗）

通常の計算で考えると、暗算は難しいかもしれません。

しかし、インド計算法を利用すれば、簡単に答えを求めることが可能です。

解説

今回の問題の答えは「7225」です。

ここではインド式計算法を用いた計算方法を紹介します。

紹介する計算方法は、「◯5の二乗」の計算で利用可能です。
※「二桁の数で一の位が5の数」を二乗する計算

どのように計算するのか、その手順を確認していきましょう。

【手順1】
十の位の数とそれより1大きい数を掛け算する。
「85×85」の場合、「8」と「8より1大きい数（9）」を掛け算。（8×9=72）

【手順2】
一の位の数（5）を二乗する。
（5×5=25）

【手順3】
手順1、手順2で求めた数を並べる。これが答えとなる。
（72と25なので、7225）

とても簡単に計算することができました。「◯5の二乗」という計算は、すべて同じ手順となります。

「◯5」を二乗すると、その計算結果の下二桁は必ず「25」になります。

15の二乗= 225
25の二乗= 625
35の二乗=1225
45の二乗=2025
・・・

つまり、実質計算をしなければいけないのは、百の位、千の位の部分ということになります。

これも簡単な九九だけで求めることができますね！

計算法が成り立つ理由

ここでは、上記の計算方が成り立つ理由を数学的に証明をしてみましょう。

知らなくても計算することは可能ですが、理由まで知っていると計算ミスを減らすことが可能です。

証明のためには下記の展開公式を利用します。

展開公式
(a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2

今回の計算では、「二桁で一の位が5である数」を二乗します。

「十の位がa、一の位が5である数」は「10a+5」と表すことができます。

つまり
(10a+5)^2
の計算をするということになります。

これを展開公式に当てはめ、式変形をしてみましょう。

(10a+5)^2
=(10a)^2+2×10a×5+5^2
=100a^2+100a+25
=100a(a+1) +25

a(a+1)の部分が、【手順1】に当たる計算です。

100が掛けられているので、百の位、千の位になります。

また、下二桁は必ず「25」になることも分かります。

まとめ

今回紹介した計算法は、インド式計算法の中でも簡単で覚えやすいものです。

ぜひ日常生活でも利用してみましょう！

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法を持つものもございます。
あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

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文・編集（監修）：SAJIMA
日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」

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インド式計算にもう一問挑戦！

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