大人が意外と分からない「三角錐の体積を求めなさい」→覚えてますか？

ものの大きさを考えるときは「体積」を計算します。立方体や直方体など、箱の形をした図形であれば簡単に求めることができるのではないでしょうか。

では、「三角柱」や「四角錐」などはどのようにして体積を求めればいいのでしょうか。この記事では、体積の考え方について解説していきます。

問題

（問題1）
次の三角錐の体積を求めなさい。（底面は、直角三角形である）

先が尖ったピラミッドのような立体図形を「錐体」と言います。この場合は、どのように体積を計算するのでしょうか。

解説

この問題の答えは「5cm3」です。

次のように計算します。

三角錐
=底面積×高さ÷3
=(2×3÷2)×5÷3
=3×5÷3
=15÷3
=5

実は「錐体」の体積については以下のことが分かっています。

錐体の体積は、同じ高さで同じ底面の柱体の体積の1/3である。

先が尖った形であるため、体積が小さくなります。その小さくなる割合が1/3ということです。（底面と高さが同じ場合）

したがって、「三角錐=底面積×高さ÷3」という計算ができたのです。

体積とは

「体積」というのは、立体が占める空間の大きさです。

立方体や直方体など、箱の形をした図形であれば、1辺が1cmの立方体（1cm3）がいくつあるかを考えることによって求めることができます。

（問題2）
縦2cm、横4cm、高さ2cmの直方体の体積を求めなさい。

これは小学校で学習するので、多くの方がすぐに計算が可能なはずです。

答えは「16cm3」です。

直方体は「縦×横×高さ」で面積と求めることができるので
2×4×2＝16
となります。

下図のように、「1cm3の積み木」がいくつあるのかというイメージですね。

三角柱の体積

「1cm3の積み木」がいくつあるのかという考え方では、「箱の形」ではない立体図形の体積を求めることができません。

ここでは、次に三角柱の体積を考えてみましょう。

（問題3）
三角柱の体積を求めなさい。（底面は、直角三角形である）

「1cm3の積み木」がいくつあるのかという考え方ができなくなりました。どのように計算すればいいでしょうか。

問題の答えは「10cm3」です。

次のように計算をします。

三角柱
=底面積×高さ
=(2×2÷2)×5
=10

三角柱の体積は「底面積×高さ」の計算で求めることができます。これは、三角柱だけでなく、「柱体」の立体図形はすべて同様です。

「柱体」というのは、「合同で平行な二つの平面図形を底面として持つ筒状の空間図形」のこと。その名の通り「柱の形」というイメージです。

この体積の計算では、「平面図形をどれだけ高さの方向に積み重ねたか」を考えています。

今回の問題では、底面の三角形は「2cm2」です。この「2cm2」の面積が、高さ「5cm」だけ積み重なっているので、体積は2×5＝10cm3と考えることができます。

まとめ

教科書や画面上では、平面になってしまうため、立体図形は苦手という方は少なくありません。

どこに底面があるのか、高さはどこなのかをしっかりイメージすることで、体積の計算も可能になります。

ぜひ他の記事も読んで、練習してみてください！

※当メディアでご紹介する数学関連記事において、複数の解法を持つものもございます。
あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

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文・編集（監修）：SAJIMA
日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」

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