大人が意外と解けない「1001を素因数分解しなさい」

「素数」というは、「1とその数自身でしか割りきれない1より大きい数」のことです。

素数に関しては最先端の数学でも未解決なことが数多くあり、単純なようで実は奥が深い数字なのです。

今回はそのような素数に関する問題の中でも、小学生向けの「素因数分解」に挑戦してみましょう！

問題

1001を素因数分解しなさい。

素因数分解というのは、「素数の掛け算の形」で表すことです。

この1001という数が、どの数で割り切れるかを見つけるのがポイントとなります。

解説

今回の問題の答えは「7×11×13」です。

実際に計算してみると7×11×13=1001になっていることが確認できるはずです。

 

では、どのような手順でこの素因数分解をすればよいのでしょうか。

今回のような4桁程度の数であれば、小さい素数で順に割り算を試しましょう。

素数は、小さい方から2、3、5、7、11、…です。

1001÷2=500あまり1
1001÷3=333あまり2
1001÷5=200あまり1

ここまでは、きれいに割り切ることができません。
（ここでは実際に割り算をしていますが、これらの数で割り切れないことは、すぐにわかるかもしれません）

次の素数である7で割ってみましょう。

1001÷7=143

7で割り切ることができました。143が出てきたので、次はこれを割り切ることができる素数を探します。

7までの素数はすでに試したので、次の素数11で試します。

143÷11=13

これも割り切ることができ、さらに出てきた13も素数です。つまり、これ以上分解することはできません。

したがって、答えは「7×11×13」ということになります。

 

今回の問題では、小さい素数から順に割り算を繰り返していき、四つ目の素数7で割り切ることができました。

これがもし、7でも割り切れない、11でも割り切れない、13でも割り切れない…となってしまったら、どうでしょうか。

どこまで割り算を繰り返さないといけないのでしょう？

そこで、次のような問題を考えてみます。

素因数分解できない数字

 問題
1009は素因数分解が可能ですか。

結論から言うと、1009は素因数分解ができません。つまり1009自体が素数であるということになります。

では、素数であることを確認するために、「1009以下の素数すべてで割り切れない」ということを確認しなければならないのでしょうか。

「1009以下の素数」となると、かなり大変な作業になりそうです。

 

実は、素数であるかの判定には、以下のことがわかっています。

ある数Nが素数かどうか調べるには、√N以下の素数で割ってみれば十分である。

(例)ここでは小さい数で確かめてみましょう。
31が素数かどうかを調べるには、小さい素数で順に割り算をしていきます。そのとき√31(=5.56・・・)以下の素数だけを調べれば十分です。
31は2で割れない
31は3で割れない
31は5で割れない
この時点で、31が素数であるということが確定します。
（7、11、13、19、23、29と素数が続きますが、これらの割り算をする必要はありません）

今回の問題では、1009が素数かどうかを確認したいので、√(1009)以下の素数を調べればよいということになります。

√(1009)=31.76…なので、調べる数をかなり減らすことができます。

ちなみに、√(1009)以下の素数は、次の11個です。

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

11個の素数というのも大変な計算になりそうですが、1009までの素数を考えるのに比べるとずいぶん簡単になりましたよね！

まとめ

素数や素因数分解というのは、小学生・中学生でも理解できる内容です。

しかし、現代数学では非常に重要な地位を占めており、未解決問題も数多く存在します。

興味がある方は、ぜひ調べてみてください！

 

※当メディアでご紹介する数学関連の記事においては、複数の解法を持つものもございます。
あくまで一例としてのご紹介に留まることをご了承ください。

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文・編集（監修）：SAJIMA

日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」