【大人でもわからない】「3の3の3乗乗」ってどうやって計算するの！？

同じ数を何回もかけ算するときは「指数」を用いて表します。例えば、「3の3乗」は3×3×3のように3を3回かけるかけ算です。指数が出てくる単元は中学校で習います。

では、その指数にさらに指数がついているとどのように計算をするのでしょうか。普段、見かけることのない表現なので知らない方もいるのではないかと思います。

指数のルールを理解していなければ間違えてしまう方も多い、要注意な問題です。この機会に覚えてみてくださいね。

問題

次の数を計算しなさい。（実際にこの値を計算するのは大変なので、どのような計算の順序になるかを考えてみてください。）

3の3乗にさらに3乗がついていますが、どのように計算すればいいのでしょうか。大人でもさっぱりわからない方も多いかもしれません。

さて、今回の問題の答えは「3の27乗（7,625,597,484,987）」です。

「3の3乗」は3×3×3＝27という計算は大丈夫でしょう。

では、今回の計算ですが、前から順に計算をしたくなりますが、実はそれは間違いです。

このような表記をした場合、いちばん上の指数から計算するのが正しい計算となります。

したがって、3を27回かけ算する「3の27乗」という数になりました。

そもそも大きな数を表現するために用いていた指数ですが、それにさらに指数を重ねることによって、より大きな数の計算となります。

右肩に小さく数字を書くのが指数でしたが、実は別の表記方法もあるのをご存知でしょうか。

例えば「3の3乗」は「3↑3」と書きます。上向の矢印をひとつ用いることで、指数を表現しています。これだけだと、指数を矢印に書き換えただけです。

今回の問題になっている「3^3^3」は「3↑↑3」と表します。矢印がふたつになりました。これは「3を3階建ての指数にする」というイメージです。

もし「4↑↑5」と書けば「4^4^4^4^4」となり「4を5階建ての指数」にしています。

この矢印は「クヌースの矢印表記」や「タワー表記」と呼ばれており、巨大数を表現するのに用います。

指数に指数がついた数、普段見かけることはありませんが、このような数字の表現があるんですね。

矢印を使った数字の表記も初めて目にするという方がいるのではないでしょうか。矢印の数を増やせば、さらに大きい数の表現も可能です。

興味のある方は、この矢印を用いた数の表現を調べてみてください！

文・編集（監修）：SAJIMA

日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」。