数学で証明、トランプで「5枚のうち4枚をみて残りを当てる」手品に邪魔が入るとどうなるか？

アメリカのメリーランド大学カレッジパーク校（UMD）などで行われた研究によって、並び順で隠したカードを伝える5枚カード手品を、観客に隣の2枚を入れ替えられても当てられる「邪魔に強い手品」にすると、使えるカードは29枚が限界だと数学的に証明されました。

普通の52枚では、どんな方法を使っても、すべての手札で当てられるとは保証できません。

邪魔が無ければ、普通のトランプ一組はこの手品にとって余裕たっぷりの大きさです。

ところが、並びをほんの1か所いじられる可能性があるだけで、その余裕は消えてしまいます。

入れ替えてよいのが「どの2枚でも」となると、限界は29枚のさらに半分ほどまで下がります。

いったいなぜ、たった2枚の入れ替えで、使えるカードがここまで減ってしまうのでしょうか。

研究内容の詳細は2026年11月2日に『arXiv』にて公開されました。

5枚カード手品は「見せる4枚とその並び順」だけで隠したカードを伝える

5枚カード手品は、2人の演者で見せる古いトランプの演目です。

観客が好きな5枚を選んで助手に渡すと、助手は中身をたしかめて1枚だけを裏向きに伏せ、残り4枚を自分の選んだ順番で横一列に並べます。

手品師は並んだ4枚とその順番だけを見て、伏せた1枚を言い当てます。

手品師はカードが選ばれる場面を見ておらず、ずっと部屋の外にいたのに、戻ってきて列を一目見るだけで「クラブの9」と答えます。

2人の間では、言葉のかけ方も目配せも、間の取り方も使いません。

この列のほかに手がかりは何も残らないので、この手品は、並びを電話で読み上げても、文字で送っても成り立ちます。

この手品の元になる方法は、数学者で手品師のウィリアム・フィッチ・チェイニー・ジュニア氏が考え、1950年に手品の小冊子で紹介されました。

仕掛けは、トランプのマークが4種類しかないところから始まります。

5枚選べば、少なくとも2枚は必ず同じマークになります。

元祖のやり方では、最初の1枚でマークを、残り3枚の並べ方で数を伝えます。

助手は同じマークの2枚のうち片方を伏せ、もう片方を列の先頭に置いて、伏せた1枚のマークを知らせます。

数の伝え方には、A(エース)からK(キング)までの13の数字を、時計の文字盤のように円に並べた図を使います。

同じマークの2枚は、片方から時計回りに数えた時間と、もう片方から数えた時間を足すと13になるので、どちらかは必ず6以内で届きます。

助手は、その6以内で届く先のカードを伏せます。

残り3枚の並べ方はちょうど6通りあり、並び順はそれだけで、1から6までの数を運べる合図になっているのです。

元祖のやり方は先頭の1枚をマークに使いましたが、手品師に届く合図は4枚の並び全体です。

見える4枚を小さいほうから「1・2・3・4」と呼ぶことにすると、その並べ方は4×3×2×1で24通りです。

同じ4枚でも、並べ方を変えればこの24通りの別々の合図を送れます。

この手品を数の問題として見るときの出発点は、1つだけです。

観客が選んだ5枚の組を手札と呼ぶと、違う手札には、違う並びを出さなければなりません。

同じ並びを2つの手札に使ってしまえば、手品師はどちらの手札なのか決めようがないからです。

52枚では、助手が出せる並びの種類が、観客が選べる手札の種類の2.5倍もあります。

観客が選べる5枚の組は約260万種類で、助手が出せる並び、つまりどの4枚をどの順で見せるかは約650万種類です。

違う手札に違う並びを割り当てても、並びはまだ余るほどです。

カードが何枚まで使えるかは、見せる4枚の顔ぶれ1組が平均で何個の手札を受け持つかで決まります。

同じ顔ぶれでも、伏せた1枚の候補は残りのカード全部になります。

ただし1つの手札は、伏せる1枚を取り替えれば5通りの顔ぶれを出せるので、1つの顔ぶれが受け持つ手札は平均で「カードの枚数から4を引いて5で割った数」になります。

その手札を言い分けるには、受け持つ手札の数が、使える合図の数より多くなってはいけません。

だから使えるカードの上限は「5×合図の数＋4」枚と決まります。

つまり、使える合図が1種類減るたびに、使えるカードは5枚ずつ減るということです。

邪魔が無ければ合図は24通り全部使えるので、この式に当てはめると124枚まで届きます。

そこまで本当に方法が作れることは、2002年の解説記事などで既に知られていました。

ここで、並んだ4枚の列に、観客が手を出せるようにします。

入れ替えてよいのは隣り合う2枚で、列の中にある3か所のうちどれか1か所だけです。

何もしないままでもかまいません。

しかも手品師には、入れ替えがあったのかどうかが知らされません。

そこで研究チーム(メリーランド大学の数学者ドロン・レビ氏とヤーコフ・マリノフスキー氏)は、観客のこの小さないたずらを許しても、すべての手札で当てられる「邪魔に強い手品」が何枚のカードまで作れるのかを、数学で確かめることにしました。

並びが1回ずれるかもしれないだけで、52枚の余裕はどこまで残るのでしょうか。

隣の入れ替えに備えると、使える並びは24通りから5通りに減る

観客が隣の2枚をこっそり入れ替えても見分けられる並びは、24通りのうちいくつ選べるのでしょうか。

研究チームはまず、並びどうしを「隣の2枚を1回入れ替えれば行き来できる」という関係でつなぎ、その間を行き来するのに必要な最少の入れ替え回数を距離としました。

こうすると、合図に使う並びどうしがどれだけ離れていれば手品師が迷わないかを、距離の数字で言えます。

合図どうしは、隣の入れ替えで3回分以上離れていないと、手品師が見分けられません。

2つの合図が入れ替え1回で行き来できる近さだと、片方を入れ替えた並びが、もう片方の合図とそっくり同じになってしまいます。

2回分離れていても、両方から1回で届いてしまう並びがあるので、手品師はどちらが元の合図か決められません。

3回分離れていれば、それぞれの合図から1回ずれた並びは重ならず、手品師は元の合図を1つに絞れます。

入れ替えに耐えるには、合図と合図の間に入れ替え3回分の距離を空けなければならないのです。

合図に選んだ並びのまわりには、観客の手でずれた並びも取り置かれます。

助手が小さい順の1・2・3・4で並べても、観客が隣を1組入れ替えれば、2・1・3・4、1・3・2・4、1・2・4・3 のどれかに変わります。

手品師はこの3つを見ても「元は1・2・3・4」と読むので、この3つはほかの合図には使えません。

つまり1つの合図は、自分と1回ずれた3つを合わせた4つを受け持ちます。

24通りを4で割る計算だけなら、合図は6通りまで取れそうに見えます。

ところが、6通りを取ることはできません。

6通りあれば、24通りの並びは4つずつすき間なく分かれるはずです。

24通りのうち、いちばん小さいカードが1番目にある並びは6通りで、2番目・3番目・4番目にある並びもそれぞれ6通りです。

それぞれの合図が受け持つ4つの並びの中で、このカードが何番目に来るかを数えて、どの番目も6通りになるように帳尻を合わせると、このカードを1番目に置く合図も、2番目・3番目・4番目に置く合図も、どれも「1.5通り」ずつ必要になってしまいます。

合図の数が小数になることはないので、使えるのは5通りまでで、その5通りの並べ方は具体例まで示されています。

つまり、割り算では入りそうな6つめの合図が、24通りをすき間なく分ける形が無いために入らないということです。

24マスの床を4マスずつのタイルで敷き詰めるようなもので、マスの数はちょうど足りているのに、つながり方が噛み合わず、6枚目がどうしても収まりません。

4枚の顔ぶれ1つあたりの合図が5通りなので、「5×合図の数＋4」の式に5を入れると、邪魔に強い手品の上限は29枚になります。

52枚はこの上限の先にあり、どんな方法を工夫しても、すべての手札で当てられるとは保証できないのです。

並びの種類が手札の種類の2.5倍もあった余裕は、合図を5通りに絞った途端に足りなくなります。

隣の2枚を1回入れ替えられるかもしれないだけで、52枚のトランプはこの手品には大きすぎる山になります。

番号0〜28を付けた29枚なら、入れ替えられても必ず当てる方法があります。

研究チームが示した方法では、助手は5枚の番号の合計を5で割った余りから伏せる1枚を決め、残りを決めておいた5通りの合図のどれかで並べます。

5通りはどれも入れ替え3回分以上離れているので、観客が隣の2枚を入れ替えても、手品師は元の合図を読み取って伏せた1枚を言えます。

29枚という限界は、ちょうどそこまで届く手品の作り方とセットで示されました。

では、観客の邪魔がもう少し自由になると、合図と上限はどこまで減ってしまうのでしょうか。

上限を決めているのは「4枚で出せる合図の種類」だった

隣どうしに限らず、どの2枚でも入れ替えてよいとしたら、邪魔に強い手品はどこまで小さくなるのでしょうか。

観客がどの2枚でも入れ替えてよいなら、合図は2通り、カードは14枚までです。

4枚の並びは、小さい順の1・2・3・4から偶数回の入れ替えで作れるものと、奇数回で作れるものの2組に分かれ、入れ替え1回ごとにこの2組を行き来します。

どの2つの並びも、1枚ずつ正しい位置へ送っていけば3回以内で届くので、同じ組に入る2つは2回以内で届いてしまい、合図としては近すぎます。

合図を3つ選べばどれか2つは必ず同じ組に入るので、残せるのは2通りです。

この2通りを式に入れると上限は14枚で、実際に14枚で必ず当てる方法も作られています。

観客の自由が少し広がるだけで、使えるカードは半分以下になってしまうのです。

カードの絵柄や暗算のしかたをどう工夫しても、これらの上限は超えられません。

3つの条件の上限はどれも、同じ「5×合図の数＋4」という1本の式で説明できます。

入れ替えに備えるほど合図が減り、使えるカードの上限も減ります。

邪魔が無ければ合図は24通りで上限は124枚、隣の入れ替えに備えると5通りで29枚、どの2枚でも入れ替えられるなら2通りで14枚です。

52枚の線を越えられるのは、邪魔がまったく無い場合だけでした。

つまり、上限を決めているのは「1組の4枚で何種類の合図を出せるか」という一点だということです。

ずれに備えて合図のまわりを「ずれても同じ意味」の空き地として確保するほど合図が減り、その減った分がそのまま、使えるカードの枚数を削っていきます。

入れ替えがあっても、52枚で毎回外れるわけではありません。

邪魔が無ければ52枚どころか124枚まで成り立ちますし、邪魔があっても当たる手札はありえます。

この研究が示したのは、52枚では、どんな方法を使っても、すべての手札で当てられる「邪魔に強い手品」は作れないということです。

この結果は数学の証明によるもので、本物の観客や手品師に演じてもらって確かめたものではありません。

邪魔も「隣の2枚(またはどの2枚)を、多くても1回入れ替える」場合に限られます。

それでも隣の2枚を入れ替える条件では、29枚が限界であることと、29枚で必ず当てる方法があることが、言い切れる形で示されました。

論文は、これと似た「ずれても読み取れる並びの作り方」が、電気の量の順番でデータを表すフラッシュメモリーの研究でも調べられていると触れています(応用を示したわけではありません)。

研究チームは手品師に向けて、この邪魔に強い手品の話を演目の締めの話題に使えると勧めています。

助手が「隣の2枚を1回だけ入れ替えてもいいですよ」と観客に言うとき、手元の山が52枚では、戻ってきた手品師が当てられる保証はありません。

けれども0から28の番号を振った29枚なら、どの5枚を選ばれても、手品師は伏せた1枚を言い当てます。

邪魔に強い手品は、合図の種類を減らした分だけ小さな山で演じる手品なのです。

この研究で重要なのは、並び順が乱れても、見えている4枚の顔ぶれは変わらないという点です。
手品師が受け取る情報は「どの4枚か」と「どんな順序か」に分かれ、観客の入れ替えが乱すのは後者だけです。
そこで、顔ぶれから隠したカードの候補を絞る算術と、並びの乱れを直す仕組みを組み合わせられます。
29枚という限界は、並び順一般の情報量ではなく、手札のうち4枚だけを表示し、隣り合う2枚を多くても1回入れ替え、その有無を手品師に知らせないという条件の下での限界です。
ただし、送れる合図の総数が十分であることと、手品を実現できることは別です。
助手は好きなカードを合図に使えるのではなく、選ばれた手札に含まれる4枚しか出せません。
全体で合図が余っていても、各手札に使用可能な合図を重複なく割り当てられるとは、数えただけではわからないのです。
本文の上限式はまず不可能性の判定であり、その上限に届く方法の存在には、もう一段の証明が必要になります。
2003年の関連研究は、この手品を離散数学の教材として扱い、最終的な解法にホールの相異なる代表元定理を使うとしています。
これは、対象ごとに許された選択肢から、重複しない代表を選ぶ問題に関わる定理です。
今回の論文にも、手札と表示を対応づける同じ制約があります。
29枚版では、具体的な算術手順によって、それぞれの手札から正しく読める表示を作れると示します。
合図の不足を証明する側と、実際に割り当てる側の両方がそろって、最大枚数が確定するわけです。
算術手順の洞察は、助手が何を伏せるかという選択そのものにあります。
伏せるカードを自由に選んでから、その正体を並びで伝えるのではありません。
合計の余りに従って伏せるカードを決めることで、手品師は見えている4枚から、隠されたカードが取り得る位置を絞れます。
29枚版では、見えていない25枚のうち、この規則と両立する候補は5枚です。
並び順が伝えるのは、その5枚のどれかという情報になります。
選択の規則と表示の規則が共同で情報を運んでいます。
この見方は、2024年の関連研究との違いも明確にします。
その研究は、カードを裏向きに見せることや、縦向き・横向きに置くことを認めた手品を扱っています。
これらは表示に使える区別を増やす方向の工夫です。
今回の入れ替えへの対策は、区別できなくなる表示をまとめ、確実に読み分けられる合図を選び直す方向の工夫です。
両者は、表示として何を許すかが最大枚数を左右するという問題意識を共有しています。
ただし、関連研究の要旨から、今回と同じ入れ替えへの耐性まで読み取ることはできません。
本文で扱わなかったもう一つの柱は、カードの番号やマークに固定の始点を置かない方法です。
数字を時計のように巡回させ、マークも決めた輪に沿って一斉に移したとき、表示も同じように移る規則を作っています。
ここで移すのはカードの数字やマークであり、列の中の位置はそのままです。
従来法の「Aを最小とする」といった絶対的な大小関係を、先頭のカードから数字が何歩先か、マークが何歩先かという相対的な関係に置き換えます。
難所は、同じマークの組が複数ある場合にも、一貫して一組を選ぶことです。
新しい方法では、まず数字の間隔が最短の組を選び、同点なら各候補を基準に見た手札全体の相対配置を比較します。
比較しても完全に同じ配置になるなら、一方の基準を他方へ移す操作で、5枚の手札が丸ごと自分自身に重なるはずです。
しかし、そのような操作が作るカードの循環の長さは、52と5の両方を割り切る必要があり、何も変えない操作以外には存在しません。
手札の対称性に関する事実が、選択の一意性を保証しています。
124枚版にも同じ発想が及びます。
この枚数では手札と表示の総数が一致し、すべての表示を一度ずつ使う必要があります。
それでも、番号の始点に依存しない方法を構成できました。
既存の余りによる伏せ方を残し、候補を円周上で数える表示法に置き換えたのです。
最大枚数を達成することと、番号の付け始めに特別扱いをしないことを両立できる点に意義があります。
124枚を扱えること自体は既知であり、今回加わった成果は、この対称性を保つ具体的な方法です。
限界の読み方で最も大切なのは、「必ず成功する」という要求の強さです。
29枚と14枚は、どの手札が選ばれ、許されたどの入れ替えが行われても正しく答えるための最大枚数です。
手札や入れ替えの起こりやすさを仮定した平均成功率は扱っていません。
したがって、52枚で保証できないという結果から、実演で何割失敗するか、特定の手札がどれほど危険かを読み取ることはできません。
保証の不可能性と、失敗頻度の評価は別の問題として残ります。
また、証明は、異なるカード4枚を表向きに一列で見せ、観客が多くても1回交換するという条件に依存します。
交換しなかった場合も許され、手品師には交換の有無が知らされません。
カードの追加・除去、裏返し、複数回の交換、交換箇所の通知などは、このままの証明が対象とする条件には含まれません。
とりわけ顔ぶれが変わると、並びが乱れても表示カードの合計は変わらない、という算術部分の足場まで失われます。
それぞれの条件に応じて問題を立て直す必要があります。
番号の始点に依存しないことと、観客の交換に耐えることも区別が必要です。
前者は、手札全体を規則的に読み替えた際に、選び方と表示が整合する性質です。
後者は、見えるカードの顔ぶれを変えずに、表示の並びのうち2枚を1回入れ替えられても元の意味を復元する性質です。
論文が示した52枚の新しい方法は、前者を満たすからといって隣の交換に耐えるわけではありません。
また、従来法も数字の始点をまたぐと表示の仕方が変わるだけで、手品としての正しさが失われるわけではありません。
実演上の利点にも、数学的保証とは異なる検証が必要です。
論文は同点処理の頻度や全手札の計算機確認を示していますが、演者の暗算時間、記憶負担、読み間違いを測った実験は報告していません。
相対配置を使えば手札を共通の規則で扱えますが、それが誰にとっても速いことまでは証明しません。
マークの巡回順序と向きなど、二人が共有する約束も必要です。
固定の始点をなくすことは、事前の取り決めをなくすことではありません。
具体的な手順を補うと、29枚版の手札が3・8・14・20・27なら、合計72を5で割った余りは2です。
小さい順に0から数えて2番目の14を伏せます。
見える4枚の合計は58なので、5の倍数まで足す数は2。
14は、見えないカードを小さい順に0から数えた位置12にあり、12＝2＋5×2と分解できます。
この最後の2を合図番号として送り、相対順位2341、実際のカードでは8・20・27・3と並べます。
124枚版の新しい表示法では、先頭のカードを円周上の歩き始めにし、残る3枚の並びで0から5の数を伝えます。
手品師は隠されたカードの候補を時計回りにたどり、候補を数えるたびに得点を1増やし、途中で別の表示カードを通るたびに6を引きます。
候補を数える直前の得点が伝えられた数に達したところで止まります。
論文は、正解で得点が一致するだけでなく、途中の候補では先に一致しないことまで証明しています。
確認の規模も補足しておきます。
52枚の新しい方法では、全2,598,960手札の列挙により、約85％は最短の間隔だけで組が決まり、さらに約8％は最初の相対ラベルの比較で決まると報告されています。
2番目のラベルより先まで比較するのは180手札に1つ未満です。
124枚版では全225,150,024手札について、正しい復号と、手札を巡回させると表示も同じように巡回することを計算機で確認しています。
これらは構成と実装の確認であり、人による演技の成績ではありません。

元論文

Around the Clock. New Twists on Fitch Cheney’s Five-Card Trick
https://doi.org/10.48550/arxiv.2611.02424

ライター

川勝康弘: ナゾロジー副編集長。 大学で研究生活を送ること10年と少し。 小説家としての活動履歴あり。 専門は生物学ですが、量子力学・社会学・医学・薬学なども担当します。 日々の記事作成は可能な限り、一次資料たる論文を元にするよう心がけています。 夢は最新科学をまとめて小学生用に本にすること。

編集者

ナゾロジー 編集部