工夫して10秒で計算してみて！「69+73+25+31」→暗算できる？

足し算は掛け算や割り算に比べれば簡単なことが多いですが、それでも足す数が増えれば計算はややこしくなります。

今回は、四つの数の足し算を10秒以内に計算してみましょう。どのような工夫をすれば、速く正しい答えが出せるでしょうか。

問題

次の計算を暗算でしてください。
69+73+25+31

※制限時間は10秒です。

解答

正解は、「198」です。

冒頭の「69+73」から繰上りが発生して計算しづらさを感じたなら、一度制限時間を忘れて式を冷静に見てみましょう。どのような工夫をすればよかったのかに気が付けるかもしれません。

どうしても工夫の仕方が分からないという人は、次の「ポイント」を確認してみてくださいね。

ポイント

この問題を速く正確に計算するためのポイントは、「交換法則」と「結合法則」です。

どちらも小学校で習う法則ですが、どのような内容だったかを覚えているでしょうか。

交換法則とは

交換法則とは、足し算のみ、あるいは掛け算のみの式では、数を交換して計算しても答えが変わらないという法則のことです。

<交換法則>
〇+▲=▲+〇 例：2+3=3+2=5
〇×▲=▲×〇  例：2×3=3×2=6

結合法則とは

結合法則とは、足し算のみ、あるいは掛け算のみの式では、どこから計算してもかまわないという法則のことです。

<結合法則>
(■+▲)+〇=■+(▲+〇)
(■×▲)×〇=■×(▲×〇)

例えば、「2+3+1」はそのまま左から計算すると、2+3を先にしてから1を足すことになります。

  2+3+1
=(2+3)+1 ←2+3を先に計算する。
=5+1
=6

しかし、結合法則を利用すると、3+1から計算してもよいことになります。

  2+3+1
=2+(3+1) ←3+1を先に計算する。
=2+4
=6

こうしてみると、結合法則は足し算や掛け算の式のどこにカッコを付けて計算してもよい法則と考えることもできるでしょう。

交換法則と結合法則を利用して、計算の工夫をしよう

では、さっそくこの二つの法則を使って、今回の問題を効率的に計算する工夫をしていきましょう。

69+73+25+31

この式をよく見ると、69と31を足すとちょうど100になることに気が付きます。残りの73と25の足し算は繰上りがないので、計算も楽ですね。

つまり、次のように計算すれば簡単に答えが出るのです。

  69+73+25+31
=(69+31)+73+25 ←69+31を先に計算する
=100+(73+25)←73+25を先に計算する
=100+98
=198

このように足し算の順番を柔軟に変えられるのは、交換法則と結合法則を利用しているからです。

各法則の利用過程をもっと詳しく知りたい人は、次の式をご覧ください。

  69+73+25+31
=69+(73+25)+31 ←結合法則で73+25にカッコを付ける
=69+31+(73+25) ←交換法則で(73+25)と31の計算の順番を交換
=(69+31)+73+25 ←結合法則で69+31にカッコを付ける
=100+(73+25) ←結合法則で73+25にカッコを付ける
=100+98
=198

まとめ

今回の問題では、足し算しやすい数のペアどうしの計算を先にすることで、計算が効率化できました。

このように足し算の順番を自由に変えられるのは、交換法則と結合法則という二つの法則があるおかげです。なお、交換法則と結合法則は掛け算にも使えます。

複雑そうな足し算や掛け算の問題を見つけたら、交換法則と結合法則による工夫ができないかどうかを考えてみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。 あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

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文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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