大人が意外と間違える算数「0を含む割り算」→正しく計算できる？

計算式に「0」が出てくると、「計算が簡単になってラッキー」と思いますか？

足し算や引き算であれば式の中に「0」があると、楽に計算ができてしまいます。

しかし、割り算のときは注意しなければいけません。

今回は、そのような問題に挑戦してみましょう。

問題

次の計算をしなさい。
（1）0÷1
（2）1÷0
（3）0÷0

「0の計算だから、答えはすべて0」と考えないようにして下さい。

今回の問題の答えは以下の通りです。

（1）0
（2）存在しない
（3）無数にある

なぜこのような答えになるのか？

今回は「割り算の意味」を考えながら、求めてみましょう。

小学校で初めて割り算を学習した際、九九を用いて計算をしたはずです。

例えば、「12÷3」を計算するために、「3の段の九九で、答えが12になるもの」を考えます。

3×4=12と計算できるので、12÷3=4が割り算の答えです。

これは、それぞれ次のように考えることができ、言葉は異なりますが、同じことを意味しています。

12÷3=4
12を3ずつに分けると4組。

3×4=12
3が4組あると12。

つまり、「12÷3の計算をしなさい」という問題は「3×□=12の□に当てはまる数を求めなさい」という問題と同じと考えられます。

それでは、今回の問題も掛け算の形に変えて考えてみましょう。

これを掛け算にすると、次のようになります。

1×□=0

この□に当てはまる数は「0」しかありませんね。

したがって、0÷1=0ということになります。

これを掛け算にすると、次のようになります。

0×□=1

「0に何かを掛けて1になる」ということですが、このような数は存在しません。

0にどんな数字を掛けても、結果はすべて0になってしまいます。

つまり、1÷0の計算の答えは「存在しない」ということになります。

一般に「÷0」の計算は、数学的には定義されておらず「不能」と言います。

先ほどと同じく「÷0」の計算ですが、これはなぜ「1÷0」と違うのでしょうか。

掛け算にすると、次のようになります。

0×□=0

□に当てはまる数ですが、
0×1=0
0×2=0
0×3=0
・・・
どのような数を入れても正しい式になります。

つまり、□は「何でもよい」ということになってしまい、計算結果を一つに決めることができません。

よって、「0÷0」の計算結果は「無数にある」ということになり、数学的には「不定」と言います。

簡単なように見える「0を含んだ割り算」ですが、計算の際は注意が必要です。

ただ単に結果を暗記するのではなく、「なぜ」ということを考えると、それぞれの違いが分かるはずです。

※当メディアでご紹介する数学関連の記事においては、複数の解法を持つものもございます。
あくまで一例としてのご紹介に留まることをご了承ください。

文・編集（監修）：SAJIMA

日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」

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