大人が意外と分からない「Aの角度は？」

図形の問題は、知識だけでなく、時にはひらめきも必要になります。そのため、大人の方の脳トレにもぴったりです。

今回は、図形の角度に関する問題に挑戦してみましょう！

問題

次の図形の印がついた角(∠A)の大きさを求めなさい。
ただし、辺AD、DB、BE、EC、CAの長さは等しい。

星形の図形の1つの角を求める問題です。ポイントは、各辺の長さが等しいということです。

今回の問題の答えは「36度」です。

星型の図形の5つの角の和は180度になります。
（∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°）

そして、それぞれの辺の長さが等しいことから、この図形には対称性があります。

＊対称性というのは、回転や反転、反射などの動作を加えても、同じ状態であることをいいます。今回の場合なら、星の形を回転させても同じ形になっているということです。

つまり、5つの角度は大きさが等しいということがわかります。

したがって、∠A1つ分の大きさは次の計算になります。

180÷5＝36

したがって、∠A=36度が答えです。

「星型の図形の5つの角の和は180度である」ということを使って解きましたが、これは簡単に確認することが可能です。
（問題の星形図形は、辺の長さが等しく、対称性がありましたが、そのような対称性がなくても成り立ちます）

そのためには「三角形の外角の定理」を使いましょう。

この定理を星形の図形内にある三角形に用いることで「星型の図形の5つの角の和は180度である」ということが確認できます。

三角形の外角の定理
三角形の1つの外角は、その隣にない二つの内角の和に等しい。（下図参照）

（上記の星形図形は、問題の図形とは異なります。また、同じ印がついている角でも等しいとは限りません）

星型の図形の中から、うまく三角形を見つけ、外角の定理を使うことによって、「足し算をするべき角」を移動させていくことができます。

上図では、黄色の三角形、赤い三角形でそれぞれ外角の定理を用いて、角度を移動させました。

最終的に、1つの三角形に5つの印が集まったので、三角形の内角の和より、180度であるということがわかります。

証明で用いた上記の図は、対称性がないので、5つの角がそれぞれ等しいとはなっていません。

しかし、問題の図形では、5つの角が等しいことがわかるので、180を五等分すれば、求める角となりますね。

今回の問題は「星型の図形の5つの角の和は180度である」という性質を使って解きました。

しかし、この問題は他にも解法があります。どのような解き方ができるかぜひ考えてみてください。

※当メディアでご紹介する数学関連の記事においては、複数の解法を持つものもございます。
あくまで一例としてのご紹介に留まることをご了承ください。

文・編集（監修）：SAJIMA

日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」