大人が意外と間違える「男と女が円卓に座る」→交互になる座り方は何通り？

グループで食事をする際、仲の良い友達と隣同士で座りたいと思うでしょうか。

大人数になると、座席の決め方のパターンも多くなってきます。

今回は、そのような座席の決め方に関する問題に挑戦してみましょう！

問題

男3人、女3人が円卓に座る。男と女が交互になる座り方は何通り？

「円卓に座る」ということは、回転して同じ並びになるものは1通りと考えましょう。

現実では、上座・下座があったり、座る場所による違いはあるかもしれませんが、ここではそれを考えません。

あくまでも誰と誰が隣になるか、並び順だけに着目します。

さて、今回の問題の答えは「12通り」です。

（男3人をA、B、C、女3人をD、E、Fとして考えます。）

今回のポイントは「まず誰か1人を固定して考える」ということです。

回転したものは同じと見做せるので、ある1人の視点から考えていきます。

今回は、Aさんを固定して考えましょう。（下図）

Aさんの座席を決めると、男女が交互にならなければいけないので、残りの男2人（BとC）の座席も決まってきます。

Aさんから見て、「左にB、右にC」と「左にC、右にB」の2通りの座り方があります。（男の座席の決め方「2通り」）

次に、女の座り方を考えます。

空いている座席は、それぞれ両隣が異なるので、すべて異なる座席と考えられます。

それらを座席1、2、3とすると、座り方は次のとおりです。

1・2・3
D・E・F
D・F・E
E・D・F
E・F・D
F・D・E
F・E・D

よって、女の座席の決め方は、6通りです。

以上より、座席の決め方は2×6＝12となり、12通りです。

高校数学では「円順列」の公式というのも学習しますが、今回はそれを使いません。「男と女が交互に」という条件が加わったことによって、「Aさんを固定する」と考えたからです。

ちなみに、6人が円卓に座る場合の座り方は、以下のように計算ができます。

(6-1)!
=5!
=5×4×3×2×1
=120通り

なぜこのような計算になるのか、気になる方はぜひ調べてみてください。

「並び順」の求め方は、さまざまな方法があります。ポイントは、重複せず、そして漏れがないように数えていくことです。

少し大変かもしれませんが、地道にすべての場合を書き出すというのも、実は学習する上で効果があります。

解法はひとつではないので、いろんな解き方ができるようになるといいですね！

※解き方は複数ある場合がございます

文・編集（監修）：SAJIMA

日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」