数学の記号で「!」というのがあるのは、ご存知でしょうか。
これは「階乗」と言い、1からある数までの連続する整数のかけ算をするという記号です。
高校数学の序盤で学習する記号ですが、忘れている方もいるかもしれません。今回はこの階乗を使った問題に挑戦してみましょう。
さまざまな計算規則を知ることで、さらに数学を楽しめるようになりますよ！
問題
0!を計算しなさい。
「0の階乗」という数です。数学が得意な方でも意外と忘れているかもしれません。
答えは0ではありませんよ！
さて、今回の答えは「1」です。
解説
まずは、階乗の計算方法を確認してみましょう。
例えば、「4!」は「4の階乗」と読み、4以下の正の整数をすべてかけ合わせます。
つまり次のような計算になります。
4!
＝4×3×2×1
＝24
かけ算のことを「乗法」と言いますよね。階乗は、数字が階段を下るように小さくしていくかけ算というイメージでしょうか。
では、今回の問題「0!」はどのように考えるのでしょうか。
階乗の元々の意味を考えると「0から数字を小さくしていき、その整数をすべてかける」ということになります。
ということは、「0のかけ算だから、答えは0だ」と思ってしまうかもしれません。
実は、0の階乗は、他の計算規則との整合性を保つために、特別に定義がされているのです。
4!を4で割ると、3×2×1になって、これは3！になります。
さらに3!を3で割ると、2×1で2!、このようにわり算を繰り返すと「1!＝1」です。
そして、もう一度同じようにわり算を考えると、「0!＝1!÷1」となり、この結果は「1」ですね。
このように計算規則に整合性を持たせるため、「0!＝1」と定義されているのです。
まとめ
0を含んだ計算というのは、このように直感とは反する定義がされていることがあります。
しかし、このように定義されるのには、きちんとした理由があります。
定義だからと言ってただ暗記するのではなく「なぜ」ということを考えると、数学の奥深さが感じられるはずです。
文・編集（監修）：SAJIMA
日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」。