「107の2乗」を暗算で解けますか？　3桁の2乗の計算でも“一瞬で解ける方法”を解説！

2乗というのは、同じものを2回掛け算する計算です。

1桁の数なら、九九で計算できそうです。2桁になると筆算で計算をしたくなりますね。

3桁ともなると、計算が大変そうですが、今回紹介する計算は100を超える数の2乗です。

次の計算をしなさい。
107²

107²＝107×107ですね。

3桁のかけ算は難しいように見えますが、やり方さえ覚えれば実はカンタン！

まずは、答えを確認しましょう。

今回の問題の答えは「11,449」です。

今回の計算方法は、仕組み上は101〜199まで同じように計算することが可能です。

しかし、暗算をするということを考えると実用的なのは「101〜109」、計算が得意な方なら「110〜119」あたりの数に対して使えるでしょう。

では、計算の手順を確認していきましょう。
（カッコ内は今回の計算の場合）

【手順1】
計算する数を100と「残り」に分ける。
（107は、100と7）

【手順2】
元の数に「残り」を足す。
（107＋7＝114）

【手順3】
「残り」の数を2乗する。
（7×7＝49）

【手順4】
手順2、手順3で出てきた数を並べる。（手順3の数が下2桁）
（114と49なので、答えは11,449）

いかがでしょうか。それぞれの計算は単純なものになっていますね。

本当にそうなるの？と思われる方は次の練習問題にも挑戦してみてください。

練習問題
（1）112²
（2）106²
（3）103²

ここでは（1）のみ解説します。

【手順1】
計算する数を100と「残り」に分ける。
（112は、100と12）

【手順2】
元の数に「残り」を足す。
（112＋12＝124）

【手順3】
「残り」の数を2乗する。
（12×12＝144）

【手順4】
手順2、手順3で出てきた数を並べる。（手順3の数が下2桁であることに注意。百の位は繰り上がる）
（124と144なので、答えは12,544）

答え
（1）12,544
（2）11,236
（3）10,609

以下では、今回の計算が成り立つ数学的な証明をしています。興味がある方は、ぜひ数式で確認をしてみてください。

(100+a)²
=100²+200a+a²
=100(100+2a)+a²

手順2の計算が(100+2a)、手順3の計算がa²です。

「101〜109」までの数は、ほぼ暗算での計算が可能ではないでしょうか。

「110〜119」の数は、少し難しくなります。11²〜19²までの数を知っていないと暗算は大変そうですね。受験生であれば、11²〜19²はパッと計算できて欲しいところです。

何度か練習をしてぜひマスターしてください！

文・監修：SAJIMA

日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」。

編集：TRILLニュース