くじ引き、引いた方がおトク？数学で期待値を計算してみた

くじ引きの当たる確率は、「いくつのくじが入っているか」「その内、当たりがいくつあるか」が分かれば、計算ができます。

ただ、実際のくじ引きは、1等賞、2等賞・・・、と当たりにランクがあったり、そもそも、そのくじ引きを行うのに、参加費を払わなければならなかったりと、複雑な条件があります。

「宝くじ」は、まさにそのようなくじ引きのひとつですね。

今回は、そんな宝くじに関する問題です。

1等1000円が1本、2等500円が2本、はずれが2本入ったくじ引きをします。くじ引きを引きには参加費500円を払わなければいけません。
このくじ引きを引く？引かない？

「宝くじは夢を買うものだ！」という方は、当たりの確率が低くても、くじを引くと考えるかもしれません。

しかし、ここでは「くじを引くことが得かどうか」を数学的に考えてみましょう。つまり、参加費の500円を回収できるかどうかです。

くじは全部で5本。そのうち1等を引けば儲けがあります。2等なら参加費と差し引きゼロ、はずれは参加費の分だけ損をしてしまいますね。

さて、答えは出たでしょうか。

答えは「引かない方が良い」です。

「引かない方が良い」というのは、くじ引きに参加すると、損をする確率が大きいということです。

では、どのように考えるかというと「期待値」を計算してみましょう。

期待値というのは、得られる賞金に確率の重みをつけて計算する平均値です。言葉の通り「これくらいの賞金が期待できる」とイメージすると分かりやすいでしょうか。

期待値＝「（得られる賞金額）×（その確率）」をたし合わせたもの

今回の場合は以下のような計算になります。

1等の賞金は1000円、これを引く確率は1/5。
2等の賞金は500円、これを引く確率は2/5。
はずれの賞金は0円、これを引く確率は2/5。

期待値＝1000×(1/5)+500×(2/5)+0×(2/5)=400

つまり、500円の参加費を払っても、期待できる賞金額は400円ということになります。

なので、「引かない方が良い」というのが答えでした。

少し計算が複雑になってしまいますが、この「期待値」の計算は「お得かどうか」を考える際に利用ができます。

ちなみに、1枚300円で購入できる宝くじの期待値は、およそ147円程度です。（賞金や当選本数が公表されているので計算ができます）

購入金額の半分くらいのお金は当選金として期待できるというわけです。

これがお得かどうかは、あなた次第です！？

文・監修：SAJIMA

日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」。

編集：TRILLニュース