20番目に入る数字が分かりますか？100番目でも“一瞬で導く方法”を解説！

数学クイズの中でも、よく見かける問題のひとつが「数列」。

ある数の並びから、規則性を見つけて、当てはまる数を答えるというものです。皆さんも一度はやったことあるのではないでしょうか。

今日は、そんな「数列」に関する問題に挑戦してみましょう。

よくある数列の問題は「2，7，12，○，22」のように空欄がある問題ですが、今回は20番目を考えないといけません。

規則性はそんなに難しくないので気がついた方も多いでしょう。ただ、20番目を求めるとなると、少し大変そうです。

時間に余裕のある方は、順に書き出していくというのもいいかもしれません。

しかし、そのような地道な作業をしなくても、計算で求めることも可能なのです。どのような計算をすればいいでしょう？

さて、答えは「97」です。

今回の数列の規則性は「5ずつ増えている」ということです。

このように、「はじめの数に、一定の数を足し続ける数列（もしくは、引き続ける数列）」を等差数列と言います。

数列に関する以下の用語も確認しておきましょう。

▼項(こう)：並んでいるそれぞれの数
(例)今回の場合、1番目の項は2、2番目の項は7です。
1番目の項のことを初項(しょこう)と言います。

▼公差(こうさ)：隣り合う2つの項の差（等差数列の増え方）
(例)今回の場合、5ずつ増えているので公差5です。

難しい言い方をすると、今回の問題は次のように言い換えれます。

初項2、公差5の等差数列の20番目の項を求めなさい。

では、等差数列の20番目をどのように計算すればいいでしょうか。

まずは、4番目の項がどのように計算できるか、考えてみましょう。

スタートとなる初項は2です。ここに常に5ずつ足し算を繰り返します。3回の足し算をすれば4番目になりますね。（4回ではないので注意）

つまり4番目の項は、2＋5×3＝2＋15＝17ということです。

同じように、20番目の項を考えましょう。

スタートなる初項は2です。ここに5ずつの足し算を繰り返します。20番目になるためには、19回の足し算です。

したがって、2＋5×19＝2＋95＝97

20番目の数は97ということです。

このような計算方法を知っていると、「100番目の数は？」「1000番目の数は？」という問題でも簡単に解けてしまいます。

「規則性がある」ということは「数式で表せる」ということです。

どんな数式で表せるだろうか、と考えることが、算数・数学の面白さのひとつですね！

文・監修：SAJIMA

日本国内外の学校、学習塾で数学・理科の講師として幼児から高校生までを指導。現在はフリーランスとして独立し、オンラインを中心に授業を展開している。子供への学習指導だけでなく、大人向けの数学講座も開講し、算数・数学の楽しさを広く伝える活動を行っている。日本数学検定協会認定「数学インストラクター」。

編集：TRILLニュース編集部