【数学クイズ】“？”に数字を入れて「9の倍数」を作るには？

12345が、5の倍数かどうか分かりますか？5の倍数になる条件を知っていれば、答えるのは簡単です。例えば、1の位が0もしくは5であれば、その数は5の倍数になります。12345なら、1の位が5なので5の倍数だと分かります。

ほかの数字の倍数にも、5の倍数のような条件があります。

今回は「9」の倍数に関する問題を出題します。

333？という4桁の数があります。？に0〜9いずれかの数をあてはめて9の倍数にするとき、？に当てはまる数をすべて答えてください。

「333…」と続くので、？も3なのでしょうか？0~9までの数を1つ1つ当てはめて4桁の数を作り、順に9で割れるか確認していけば、正解にたどりつくことができます。

しかしそれでは時間がかかります。9の倍数の条件を使えば、もっと早く答えが出せます。

では、答えを発表します！

？に当てはまる数は「0もしくは9」です！（3330もしくは3339が9の倍数となります。）

9の倍数である条件は「すべての桁の数字を合計して9で割り切れる」ことです。

それではなぜこうなるのか、確かめてみましょう。

4桁の数abcdがあるとします。この数は1000の位がa、100の位がb、10の位がc、1の位がdですから、次のような形で表せます。

a×1000+b×100+c×10＋d

1000=999+1、100=99+1、10=9+1と「9の倍数+1」の形に変形できる点がポイントです。このように9の倍数を中心に式を書き直すと、以下のようになります。

a×1000+b×100+c×10＋d
=a×(999+1)+b×(99+1)+c×(9+1)＋d
={a×(9×111)+a}+{b×(9×11)+b}+{(c×9)+c}＋d
=9×(111a+11b+c)+a+b+c+d

太字の部分は明らかに9で割り切れます。

あとはa+b+c+dの部分、つまり各桁の数字を足した数が9の倍数であれば、数全体が9の倍数となります。

では元の数字が5桁、6桁の場合はどうでしょうか？

10000、100000も9の倍数+1と変形できますから、同じことが言えますよ。

では、今回の問題に戻ります。

3+3+3+？が9の倍数となるように考えていきます。？は0~9までの数という条件から、？は0か9になります。

3+3+3+？=9+？
？=0ならば9+0=9
？=9ならば9+9=18

「9も18もどちらも9の倍数」となっています。

今回は「倍数」に関する問題でした。

9で割り切れる条件を知っていれば解きやすかったはず。「割り切れる条件」は、今回紹介した5や9以外にもあります。

興味がある方はぜひ調べてみてくださいね！

ライター：veyu
通信制大学にて高校数学教員免許を取得。数検2級にも合格している「数学が趣味の人」。現在は学習ボランティアを通して子どもたちに数学を教えています。算数や数学の問題に潜む「解ける快感」を一人でも多くの人に味わってほしいです。
編集：TRILLニュース