この問題、解けますか？
三角形の内角の和が180°になることは覚えていますか？
正三角形の内角は全部等しいので、内角1つの大きさは180°÷3=60°と求めることができます。
では、正方形はどうでしょうか。正方形は斜めに線を引けば三角形2つに分けることができます。
だから、正方形の内角の和は180°＋180°で360°。
正方形には4つの等しい角があるので、内角の大きさは360°÷4=90°となります。
さて、ここで今回の問題を出題します。
正五角形の内角「X」は何度になるでしょうか？
答え
ヒントは三角形の内角の和です。
正方形の1つの角を求める時は、三角形に分割して考えていました。
だから、正五角形も三角形に分割すれば解けそうですが...。
上の画像の五角形をヒントに、いろいろな補助線を頭の中で引いてみてください。
では、答え合わせをしてみましょう。
正五角形の内角「X」は、108°でした！
解説
正五角形を三角形に分割する方法は、2つあります。
1つは、三角形3つに分解する方法です。
正五角形は図のように3つの三角形に分解でき、内角の和は180°×3=540°。
正五角形は5つ角があるので、これを5で割ると内角の角度が求められます。
540°÷5=108°
もう一つの分割方法は、正五角形の中央に向かって補助線を引いていくというものです。
ケーキを分割するようなイメージですね。
一辺に対し、1つの三角形ができるので正五角形は5つの三角形に分解されます。
ただし、中央の角度は正五角形の内角に含まれない、いらない部分です。
ここで中央部分を円とみなすと、いらない部分の角度は360°になります。
つまり、正五角形の内角の和は180°×5-360°=540° これを5で割ると、内角の角度が求められます。
540°÷5=108°
どちらの考え方でも、同じ結果を得ることができました。
なお、六角形、七角形、八角形…どんな多角形でも次の式が成り立ちます。
180°×(多角形の角の数-2)=多角形の内角の和
180°×(多角形の角の数-2)÷角の数＝正多角形の内角の大きさ
今回の問題の解説を見ながら、どうしてこの式が成り立つのか考えてみてください。
まとめ
いかがだったでしょうか。多角形がらみの問題は一見難しそうですが、三角形の集まりとしてとらえると解答の糸口が見えることが多いです。
今度多角形を見かけたら、補助線を引いて三角形に分解してみてくださいね。
ライター：veyu
通信制大学にて高校数学教員免許を取得。数検2級にも合格している「数学が趣味の人」。現在は学習ボランティアを通して子どもたちに数学を教えています。算数や数学の問題に潜む「解ける快感」を一人でも多くの人に味わってほしいです。
編集：TRILLニュース