工夫して素早く計算できる？「3^7÷3^5」→10秒でチャレンジ

今回は、累乗の割り算に挑戦しましょう。

累乗とは、「同じ数を何回か掛けたもの」のことです。実は、ある条件のもとでは、累乗の割り算はとても簡単にできるのです。

さて、今回の問題、あなたは10秒以内に計算できるでしょうか。

問題

次の計算をしなさい。
3^7÷3^5

※制限時間は10秒です。
※3^7は3の7条を表しています。

正解は、「9」です。

「3^7」や「3^5」を計算してから割り算をするとかなり時間がかかってしまいます。

では、どのようにすれば簡単に答えが出せるのでしょうか。

次の「ポイント」で確認してみましょう。

この問題では、「割られる数も割る数も3の累乗」であることに注目するのがポイントです。

まずは、累乗とは何かを確認しておきましょう。

累乗とは、「同じ数を何回か掛けたもの」です。掛ける回数は、指数という数で表します。

指数は、掛ける数の右上に小さく書くのが一般的ですが、上付き文字が使えないテキストや表計算ソフトでは「^」を使って指数を表すことがあります。

この記事では、「^」を使って指数を表します。

例えば、「3^2」は、掛ける数は3、指数は2ですので、式の意味は「3を2回掛ける」です。なお、「3^●」の形をしている累乗をまとめて、3の累乗と呼びます。

3^2
=3×3
=9

ここで、今回の問題を見てみましょう。

3^7÷3^5

「3^7」は3を7回掛けたもの、「3^5」は3を5回掛けたものです。累乗は割り算よりも先に計算するため、式全体の意味は、「3を7回掛けた数」÷「3を5回掛けた数」になります。

ここまでの内容で式の意味は分かりましたが、「3^7」や「3^5」を直接計算してから割り算するのは時間がかかります。

ここで注目したいのが、割られる数、割る数がともに3の累乗であることです。「掛ける数が同じ累乗の割り算」では、分数形式で考えると計算が早くなります。

「a÷b」の割り算はa/bという分数で表せますので、まずは「3^7÷3^5」を分数にしてみましょう。

3^7÷3^5
=3^7/3^5

次に、分子と分母を3の掛け算の形に直します。

3^7/3^5
=(3×3×3×3×3×3×3)/(3×3×3×3×3)

ここで、「分数の分子と分母は同じ数で割って約分ができる」ことを思い出してください。分子と分母にある3のペアを一つずつ「÷3」をしていくと、分母側に3が二つだけ残ります（分子と分母の数を同じ3^5で割った形になります）。

(3×3×3×3×3×3×3)/(3×3×3×3×3) ←分子も分母も3^5（3を5回掛けたもの）で割る
=(3×3)/1

あとはこれを計算して、整数に直せばおしまいです。

(3×3)/1
=9/1
=9

とても簡単に答えが出せましたね。

この考え方を一般化したルールがこちらです。

aが0ではなく、mもnも整数のとき
a^m÷a^n=a^(m−n)が成り立つ

今回の問題にこのルールを使うと、次のように計算がシンプルになります。

3^7÷3^5
=3^(7−5)
=3^2
=3×3
=9

今回の問題は、いかがでしたか？

累乗の計算は数が大きくなりがちですが、累乗に関する計算ルールを使いこなすと、案外あっさり答えが出るケースも多くあります。

今回のように掛ける数が同じ累乗どうしの割り算であれば、「3^7」や「3^5」を直接計算せずに、指数どうしの引き算という形で割り算を処理した方が効率的です。

他にも累乗の計算問題を用意していますので、ぜひ挑戦してみてくださいね。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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