工夫して30秒で計算してみて！「77×77−23×24」→暗算できる？

「とても暗算なんかできない」と思った問題が、工夫をすることで簡単になることは多々あります。難しい問題が暗算できたときは、とても気持ちがいいものですよ。

今回の問題も、「暗算で」答えを出せないかチャレンジしてみてください。

問題

次の計算を暗算でしなさい。
77×77−23×24

※制限時間は30秒です。

正解は「5377」です。

途中でギブアップしてしまった人は、ぜひ次の「ポイント」をご覧ください。暗算するための工夫について、解説していますよ。

今回の問題のポイントは、「平方数を利用すること」です。

平方数とは、自然数を二乗した数のことです。平方数を使った公式に、次のようなものがあります。

a^2−b^2
=(a+b)×(a−b)

※aの二乗のような平方数を「a^2」と表しています。

平方数から平方数を引いた形の式は、この公式を使って計算を簡単にできることがあります。

さて、今回の問題とこの公式の形を比べてみましょう。

a^2−b^2
77×77−23×24

「77×77」の部分は公式のaにばっちり当てはまりますが、「23×24」の部分は平方数になっていませんね。そこで、「23×24」が公式に当てはまるように、式を変形してみましょう。

77×77−23×24
=77×77−23×(23+1) ←24を23+1と考える
=77×77−(23×23+23×1) ←分配の法則で23を( )内の数に掛ける
=77×77−23×23−23×1 ←( )を外す

「23×24」が「23×23」になるように、式を変形しています。

ここで、四行目で( )を外したときの( )内の数の符号に注意してください。( )の前がマイナスの場合、( )を外したときの( )内の数の符号は反転します。

−(23×23+23×1)=−23×23−23×1

これで「77×77−23×23」という形にできましたので、先の公式が使えます。

さっそく、次のように計算していきましょう。

77×77−23×23−23×1 ←a^2−b^2の公式を利用
=(77+23)(77−23)−23×1
=100×54−23×1
=5400−23

これで式はかなり簡単になりました。最後の引き算で繰り下がりが発生しますが、ここは次のように計算することで暗算がしやすくなります。

5400−23 ←5400を5300+100と考える
=5300+100−23 ←23に足すと100になる数を考えると「77」
=5300+77
=5377

これで計算が終了しました。

今回は、平方数が登場する公式を利用して、複雑な問題を暗算する方法を紹介しました。

公式に似た形をしている式であれば、変形することで公式が使える可能性が高くなります。どのような工夫をすれば公式が使える形になるのかを考えることが大事ですよ。

他にもさまざまな暗算に挑戦して、工夫のバリエーションを蓄えていきましょう。

※当メディアでご紹介する数学関連記事においては、複数の解法をもつものもございます。あくまでも一例のご紹介に留まることを、ご了承ください。

文（編集）：VY
数学とIT技術学習が趣味のWebライター。実用数学技能検定2級と数学教員免許を取得後、家庭教師や学習支援スタッフとして数学指導を行ってきた。文系と理系の別、年齢にとらわれない、誰でも楽しめる数学解説作成を目指している。

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