英語で【モンスターペアレント】は通じる？通じない？

モンスターのような親なので[monster parent]でも良さそうですが、モンスターペアレントは英語で[helicopter parent]などと表現するのが良いでしょう。

直訳すると「ヘリコプターペアレント（親）」ですが、これは子供の周りをヘリコプターで旋回するように常に監視し、何かがあればすぐに飛んでくる親の事を表現するフレーズです。

例文として、「モンスターペアレントは、多くの先生の頭痛のタネとなっている。」は英語で[Helicopter parents have been causing headaches to many teachers.]などと表現出来ますよ。

なるべく正しくニュアンスを伝えたい場合は「モンスターペアレント」と言ってしまってから、その説明をするのも良いでしょう。

「モンスターペアレントとは、教師や学校に理不尽な要求をする親の事です。：”MONSTER PARENT” are parents who made unreasonable demands on teachers and schools.」などと表現出来ますね。